Algorithm n个矩形的相交-正好与k个矩形相交的最大区域数

想象

n

轴对齐的矩形（由其位置

（x，y）

、宽度和高度指定）。矩形对齐方式应确保

i

-th矩形必然与

（i+1）

-th相交。例如，让

n=3

，那么

1

必然与

2

相交，而

2

必然与

3

相交。值得一提的是，这是不可传递的

3

可以与

1

相交，但不能保证相交（两个有效对齐示例见图）

n=3矩形。右侧子图显示了最坏情况下的对齐。“>

我现在要寻找的是最大可能的区域数，其中恰好

k=2，…，n个

矩形相互相交（这些区域如图所示）换句话说，我在寻找最坏情况下的

n

矩形对齐方式，以便

k

矩形相交的区域数达到最大值。理论上，exaclty

k

矩形相交的区域数最大可能为

n除以k

（二项式系数）但是，该公式仅对

n<4

有效，因为不可能对齐（并绘制）

n>=4

的矩形，因此在最坏的情况下

n/k

区域正好存在

k

矩形相交的地方

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图中的第一个子图显示了

n=3

的最坏对齐情况。有

3/2=3

区域正好有两个矩形相交，还有

3/3=1

区域正好有三个矩形相交。第二个子图也显示了三个矩形的有效对齐，但这不是一个worst案例对齐，例如，没有恰好三个矩形相交的区域。

回答错误；没有删除，只是因为该方法可能有用，也可能不有用

矩形相交的几何数据可以抽象出来：重要的是以下属性：

属性p：如果矩形i和j相交，则意味着i与i+1相交，…，j-1也相交

如果你对问题的描述编码为p，那么从矩形开始就不重要了

现在，我们如何记录哪些矩形相交？一种方法是使用节点为矩形和边相交的图形，但这不是很有用，因为上面的属性p在图形中不明显。更好的方法是设置以下矩阵：

用矩阵a的第i行表示第i个矩形，该矩阵a在条目a（i，i）之前有0s，从a（i，i）到a（i，i+m）有1s，其中i+m是与矩形i相交的最远矩形的索引。也就是说，a有n行，每个原始矩形一行，由0s和1s以及a（i，j）组成对于j>i是1当且仅当矩形i和j相交 现在，我们有一个正k相交矩形的区域是什么意思？我声称上面的矩阵用一列正k 1s表示。为什么？假设你的区域是矩形I+1，…，I+k的交点。看看矩阵条目a（I+k，I+k）。上面的列在1+1到i+k的行中有1s，否则为0s

上面的矩阵看起来表面上类似于杨的歪斜表，因此是注释。但是，是的，相似性是表面的，因为它不是来自分区

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现在需要最大化A中正好有k 1s的列数。我认为最好的是每行正好有k 1s的矩阵，这将给出原始问题n的答案。答案显然是错误的，所以我在这里遗漏了一些东西。Aaaaah！

构建一个矩阵，其中单元格

Aij

为

1

if矩形

i

和

j

相交或

0

不相交。此矩阵是对称的。 现在请注意，许多靠近对角线的

1

表示相邻对齐矩形之间有更多交点

< P>“最坏”的情况下，“代码＞K<／代码>，彼此相交的矩形的数量最多，在矩阵中由K连续<代码> 1 ，在两者之间没有<代码> 0 < /代码>。您可以考虑对角线之后的元素。矩形

i

与矩形

j

相交

问题是如何交换行和列以实现此结果。这可能是矩阵带宽减少的问题。 例如，请参见和

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您也可以为您的特殊情况生成自己的算法。请注意，这可能是一个NP问题，可能存在多种解决方案。

您能更详细地解释一下输入和预期输出是什么吗？@m69该算法应采用一组

n

矩形，并以某种方式将它们对齐，以便区域

k=2，…，n

矩形重叠达到其最大值。这样的对齐显示在图的第一个子图像中，

n=3

…交点必须连续才能算作一个区域吗？例如，假设我们得到了n=3：前两个四边形重合（0,0）->（5,5），而第三个四边形通过运行穿过它们(-1,2)->(6,3)这显然是一个k=3区域，但它是一个还是两个k=2区域？我也不认为这是一个几何问题：重要的是第I个矩形是否与第j个矩形相交，如果你把这些信息抽象出来，你就会得到一个组合问题。我认为这归结为计算某些杨氏倾斜表，每个表条目（I，j）都在这里表示第i个矩形是否与第j个矩形相交。如果第i个矩形不与第j个矩形相交，则传递性大于第i个re