Algorithm 一系列文件的最短压缩时间

一个位算法问题，或者可能是优化问题，或者是动态规划问题

假设我们有N个文件要压缩。 平均压缩比为L。 文件的压缩时间取决于两个因素： 1.当前正在处理的文件的大小，以及 2.系统中剩余的内存空间（总计=M，占用=压缩和未压缩文件的文件大小之和）

所以

t（i）=K*s（i）/（M-L*（s（1）+s（2）+…+s（i））-（s（i+1）+s（i+2）+…+s（n））

其中s（i）是第i个文件的大小，t（i）是压缩第i个文件所用的时间

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我要做的是计算要压缩的文件的最佳序列，以使所需的总时间最小。那么如何计算该序列呢？

似乎最好的方法是按大小排序文件并对其进行处理。这种贪婪的方法可以解释为“先压缩小文件，避免在大文件后压缩”

可能的批准是：

如果我们有两个文件A，B，大小（A）=A

所以这意味着第一个方程式也是正确的（如果没有失败的话：D）

排序可以保证每对文件的A

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我写了O（N！）假设你有一个被认为是最优的时间表。考虑任何文件和它之后处理的一个文件。如果你可以通过交换它们来改进进度表，它就不是最优的。因此，如果你能证明，当两个并排的时候，在一个大文件之前处理一个小文件总是最好的，那么你可以显示出一个小文件。最佳时间表是以最小的文件优先排序的，因为您可以改进任何其他时间表

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因为您只是在交换两个相邻的文件，所以在这两个文件之前和之后处理文件所需的时间没有改变-前后可用的内存量相同。您不妨将问题扩展到一个文件大小为一个单位。假设在第一个文件之前，您总共有K个单位的可用内存，假设第二个文件的大小为x个单位，压缩比为1:1，那么由于这对文件的压缩时间不同，最终的结果是1/K+x/（K+L）-x/K-1/（K-xL）——我的代数非常容易出错，但我认为这可以归结为L^2x（1-x）在一些复杂但积极的事情上，这表明对于一对文件，你总是希望先压缩短文件，所以根据我前面所说的，最好的时间表是以最短文件为先排序。

听起来有点像家庭作业，不是吗？听起来有点像，但不是。这是我在考虑练习时想到的关于DP的问题。首先，似乎最佳策略是首先压缩最大的文件。@Ante实际上恰恰相反。请查看Ralor的回答：）

res+=K*size[ind]/（M-L*usedMemory-（T-usedMemory））

其中

T

是文件的总大小。但是，即使这样，输出也是按升序排列的。谢谢我想知道你是否能提出一些可以折衷的修改建议，升序或降序都不是最优的。@k_程序员我修正了它。它并没有太大的变化，因为它就像读取值后的倒L=1-L和取代基M-=t。我的第一个想法是尝试按升序和降序，或者通过三元搜索找到一些中间位置“k”，并将所有文件分成两组，但我发现它没有用。我的朋友说，当所有文件的L都相同时，这个问题很简单，但我们都认为上面显示的批准是正确的。您可以尝试在10^6个随机（但正确）数据集上运行bruteforce，并检查答案是否会在所有数据集中排序。变量L呢？让我试着用变量L来改变L:），它给出了一个既不升序也不降序的序列——这正是我想要的！但现在的问题是如何动态计算最优序列（使用DP等）？@k_程序员我用pastebin链接更新了帖子，当L[I]不同时问题仍然很容易）贪婪仍然获胜）是的，看起来是这样，Ralor的回答几乎证明了这一点。很好的解释！但是，如果你建议对问题本身进行一些修改，使最佳顺序不是升序或降序，那就太好了。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

// will work bad for cnt > 10 because 10! = 3628800
int perm[] = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};
int bestPerm[10];
double sizes[10];

double calc(int cnt, double L, double M, double K, double T) {
    double res = 0.0, usedMemory = 0.0;
    for(int i = 0; i < cnt; i++) {
        int ind = perm[i];
        res += K * sizes[ind] / (M - L * usedMemory - (T - usedMemory)); 
        usedMemory += sizes[ind];
    }
    return res;
}

int main() {
    int cnt;
    double L,M,K,T = 0.0;
    cin >> cnt >> L >> M >> K;
    for(int i = 0; i < cnt; i++)
        cin >> sizes[i], T += sizes[i];

    double bruteRes = 1e16;
    int bruteCnt = 1;
    for(int i = 2; i <= cnt; i++)
        bruteCnt *= i;
    for(int i = 0; i < bruteCnt; i++) {
        double curRes = calc(cnt, L, M, K, T);
        if( bruteRes > curRes ) {
            bruteRes = curRes;
            for(int j = 0; j < cnt; j++)
                bestPerm[j] = perm[j];
        }
        next_permutation(perm, perm + cnt);
    }
    cout << bruteRes << "\n";
    for(int i = 0; i < cnt; i++)
            cout << sizes[bestPerm[i]] << " ";
    cout << "\n";

    return 0;
}