Algorithm 最小乘法与集合覆盖问题

我有一个集合I={P1，P2，…，Pm}，和I的n个有限子集，由R1，R2，…，Rn表示，如下所示：

R1={P1，P2}

R2={P2，P4}

R3={P2，P3，P4}

R4={P1，P2，P4}

其中Pi表示一个整数

对于每个Ri，我想计算它所有元素的乘积。 我的目标是通过在Ri（i=1,2，…，n）之间共享一些公共部分，尽可能少地使用多重化和分割

例如，如果我可以先计算P2*P4，那么这个结果可以用于计算R3和R4的所有元素的乘积

注意，除法也是允许的。例如，我可以先计算A=P1*P2*P3*P4，然后使用A/P1计算R3的所有元素的乘积，使用A/P3计算R4

如果我想使用最小乘法和除法来计算I的每个子集的所有乘积，这是一个集合覆盖问题吗？NP完全？顺便说一句，你能给出一个整数线性规划公式来描述它吗

如有任何建议，将不胜感激

社区编辑：添加假设：

• 允许分割，与乘法的成本相同
• 给定集合中没有重复的元素。e、 g.

  R5={P1，P1，P1，P2}

  是不允许的

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首先，你不需要除法
这里不需要除法，它总是一个额外的计算
如果需要分割，则表示您已经执行了多次操作，因此，如果分割，将撤消您已经完成的工作
例如，如果您通过将Pi*Pj*Pk*Pn除以Pn来计算Pi*Pj*Pk，这意味着您之前计算了Pi*Pj*Pk*Pn，因此您之前计算了Pi*Pj*Pk
（我假设你所有的数字都是素数）
我的解决方案
我有一个想法，没有考虑到分裂的可能性
你可以开始用你的Ri建立一个
那么乘法的数目就是树中的边的数目
示例：
使用您的示例，后缀树将是：

       P2
      / \
     P4 P1
    / \ 
   P3 P1

得到4个乘法：

M1=P1*P2

M2=P2*P4

M3=M2*P1

M4=M2*P3

求最小乘法数相当于用最小边数构建后缀树

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希望这能有所帮助。
考虑一个元素Ri的图形，没有边。现在，我们可以按如下方式添加边：
• 在Ra之间添加定向边→Rb，用商Rb/Ra注释
例如，我们可以绘制一条边R1→R3，成本乘以R1/R3=P3*P4/P1
对所有节点执行此操作，这样就有了| R | 2条边
现在，如果只使用中间结果，可以使用最小生成树算法来解决这个问题。我相信MST算法在边的数量上非常接近线性（逆阿克曼的一个因子，增长速度比

log（log（log（…log（n）））

）慢）；甚至可能在边的数量上存在随机线性时间算法，例如，因此此基本算法将花费| R | 2时间
然而，如果你只使用中间结果，你就失去了真正的最佳答案，因为我们有可能使用“即兴”表达来获得更好的表现。例如，您可能会考虑这种情况：

R1 = {P2, P3, P4, P5}
R2 = {P1, P3, P4, P5}
R3 = {P1, P2, P4, P5}
R4 = {P1, P2, P3, P5}
R5 = {P1, P2, P3, P4}

最佳解决方案是计算

P1*P2*P3*P4*P5

，然后除以Pi，得到9个运算。而上面的方法只会执行类似R1=P2*P3*P4*P5的操作，然后每次执行乘法和除法以转到R1→R2，R2→R3，R3→R4，R4→R5，导致11次操作。（如果我们没有除法，我们也会有9个运算：b=P1*P2 c=b*P3 r5=c*P4 r4=c*P5，d=P4*P5，r3=b*d，e=P3*d，r1=e*P2，r2=e*P1。虽然我认为可能会造成需要除法的情况，但似乎找不到除法；如果我找不到除法，这可能是一个简单的多项式时间问题。）
我将这种方法称为“即兴表达”方法。如果我们选择计算一个即兴表达式（一开始是一个沉没成本），这将减少所有未来计算的成本，以便在我们选择使用它时遍历一条边（因为可能有选择使用多少个即兴表达式）
这给我们带来了一个非常小的旁注：

Theorem:
  You should have at least one intermediate expression of each 
  length up to the maximum size of any R.
Proof (induction):
  To build up a product of size N, you will need to do 
  have a product of size N-1.

注意到这个定理，我们发现上面有点错误。最佳解决方案是在计算

P1*P2*P3*P5

的过程中记住

P1*P2*P3*P4

。然后我们可以免费获得

R5

（和

R4

，只需通过另一种方法进行一次乘法，不幸的是，成本与以前相同），将总成本从9降低到8。这让我们猜测，在很长一段时间后，使用任意边执行可能也会产生最优解
无论如何，我们如何将这样一个系统整合到我们的解决方案中？我们不能添加一个节点，因为那样会弄乱MST算法。对于每个边，乘以或除以临时表达式E不会使某些P的幂P大于P（例如，对于P=2，我们允许使用中间临时表达式来创建产品，如

P1*P4^2/P3

，但不允许类似

P2^3

），我们在边上执行乘法和除法，并创建两条新边。（我们可能会不止一次这样做，或者在将来的某个日期）我们也会对边缘的所有子集这样做，我们会像上面那样回忆。如果使用MST算法，这种方法的代价是边的数量大幅增加，因此可能（| R |+#newedges）2=（|R | ^ | P |）2可能在更坏的情况下，显著增加了找到最佳答案所需的时间
因此，作为猜测，更一般的问题似乎是NP难问题；如果不是这样，请有人插话。不过，您可能可以使用heuris