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Algorithm 关于FFT的澄清

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Algorithm 关于FFT的澄清,algorithm,fft,matrix-multiplication,Algorithm,Fft,Matrix Multiplication,我知道下面的推理有问题，但我不确定是什么 FFT： 给定两个多项式 A=A_0+A_1 x+A_2 x^2+…+a_n x^n 及 B=B_0+B_1 x+B_2 x^2+…+b_n x^n 你可以计算乘积的系数 AB=\sum\u k=0^2n（\sum\uj=0^k（a\u j b{k-j}））x^k 在O（n日志n）时间中 因此，给定两个向量（a_0，…，a_n）和（b_0，…，b_n），我们可以计算 向量v_i=\sum j=0^k（a_j b_{k-j}）inO（n log n）tim

我知道下面的推理有问题，但我不确定是什么

FFT：

  • 给定两个多项式

    A=A_0+A_1 x+A_2 x^2+…+a_n x^n

    及

    B=B_0+B_1 x+B_2 x^2+…+b_n x^n

    你可以计算乘积的系数

    AB=\sum\u k=0^2n（\sum\uj=0^k（a\u j b{k-j}））x^k

    在
    O（n日志n）
    时间中

  • 因此，给定两个向量
    （a_0，…，a_n）
    和
    （b_0，…，b_n）
    ，我们可以计算 向量
    v_i=\sum j=0^k（a_j b_{k-j}）
    in
    O（n log n）
    time（通过将向量嵌入零中）

  • 鉴于上述情况，我们应该能够通过预处理其中一个向量，即
    B
    to
    B'=（B_n，B_n），计算
    A=（A_0，…，A_n）
    中
    A.B=\sum_j=0^n A_j B_j
    的点积，即
    O（n log n）
    时间
    然后计算卷积，如图2所示。在
    O（n日志n）
    时间中
    • 如果上述推理是正确的，那么这意味着我们可以通过计算
    O（n^2 logn）
    时间中的点积来实现
    nxn
    时间中两个
    nxn
    矩阵的矩阵乘法

    然而，我们知道的矩阵乘法的最佳运行时间是关于
    O（n^2.4）
    ，因此这似乎不太可能是真的，这可能意味着步骤1、2或3是不正确的。

    乘积中有
    n^2
    项，而不是
    n
    ，因此这个算法应该是
    O（n^2*n*logn）=O（n^3 logn）

    计算点积的最佳算法是
    O（n）
    ，而不是
    O（n log n）
    。这就是为什么矩阵乘法的朴素算法是
    O（n^3）
    。（这是可以在
    O（n）
    时间内完成的
    n^2
    点积）。

    产品中有
    n^2
    条目，而不是
    n
    ，因此此算法将是
    O（n^2*n*logn）=O（n^3 logn）

    计算点积的最佳算法是
    O（n）
    ，而不是
    O（n log n）
    。这就是为什么矩阵乘法的朴素算法是
    O（n^3）
    。（这是可以在
    O（n）
    时间内完成的
    n^2
    点积）。

    我想知道为什么在步骤3中可以在O（n log n）时间内计算点积，因为众所周知点积可以在O（n）时间内计算？第2步看起来也是线性时间，而不是O（n logn）步

    关于O（n^2 logn）的结论也不符合逻辑。你不能取点积O（n）次，结果是AB矩阵——据我所知，你必须取O（n^2）点积，导致（根据你的分析）O（n^3对数n），低于标准O（n^3）。这是因为你奇怪的O（n对数n）点积结果

    我想知道为什么在步骤3中可以在O（n logn）时间内计算点积是一项成就，因为众所周知，点积可以在O（n）时间内计算？第2步看起来也是线性时间，而不是O（n logn）步

    关于O（n^2 logn）的结论也不符合逻辑。你不能取点积O（n）次，结果是AB矩阵——据我所知，你必须取O（n^2）点积，导致（根据你的分析）O（n^3对数n），低于标准O（n^3）。这是因为你奇怪的O（n对数n）点积结果

    第（3）步从B到B'的转换的运行时间是多少？第（3）步从B到B'的转换的运行时间是多少？@gmatt：你不应该。大多数人甚至没有达到他们生命中学习FFT的程度。只是认为这是通向启蒙的道路上的绊脚石。大多数人甚至没有达到他们生命中学习FFT的程度。只是认为这是通向启蒙的道路上的绊脚石。