Algorithm 在稀疏矩阵中寻找最稠密的n*n子矩阵

我有一个边为2*n的稀疏平方矩阵

例如

我需要一种有效的方法来找到一个大小为n*n，最大数量为1s的子矩阵

我已经找到了各种各样的方法，但是没有比O（n^4）更快的方法。我还找到了更快的方法，不需要子矩阵必须是n*n

编辑：

---

子矩阵必须是连续的，

基于你对O（n^4）时间算法的主张，我假设子矩阵必须是连续的，否则问题是NP难的（比检测双解更难）。对于O（n^2）时间算法，只需进行O（n^2）时间预处理，即可实现形式为“给定

a，b，c，d

，计算

sum{i=a}^b sum{j=c}^dx[i，j]

”的O（1）时间查询

给定数组

X[1..m，1..n]

，按如下方式计算数组

Y[0..m，0..n]

initialize Y to the zero array
for i from 1 to m
    for j from 1 to n
       Y[i,j] = Y[i-1,j] + X[i,j]
    end
end
for i from 1 to m
    for j from 1 to n
       Y[i,j] = Y[i,j-1] + Y[i,j]
    end
end

---

现在，

Y[c，d]=sum{i=1}^c sum{j=1}^dx[i，j]

。要计算

sum{i=a}^b sum{j=c}^dx[i，j]

，请使用包含排除：

Y[c，d]-Y[a-1，d]-Y[c，b-1]+Y[a-1，b-1]

，这似乎不够。对于nxn子矩阵，仍然有（（2n）C（n））^2种选择。您已经描述了如何在给定O（n^2）个预处理的情况下，在O（1）个时间内计算每个人的分数，但是仍然有很多选择要列举。这种“整体图像”方法仅适用于矩阵在空间上排列（如在图像中）的情况。但是在这里，“子矩阵”通常被定义为由任何可能不连续的行子集和列子集选择的元素。@TimothyShields我假设子矩阵必须是连续的，因为asker声明了一个O（n^4）算法和非邻接变量是NP难的，可以从biclique中进行简化。不过，陈述这个假设可能是个好主意，因为asker的O（n^4）声明可能是错误的。

initialize Y to the zero array
for i from 1 to m
    for j from 1 to n
       Y[i,j] = Y[i-1,j] + X[i,j]
    end
end
for i from 1 to m
    for j from 1 to n
       Y[i,j] = Y[i,j-1] + Y[i,j]
    end
end