Algorithm 仅使用距离矩阵计算加权平均值

假设我们有N个样本的N×N成对距离矩阵（

D_ij

）。但我们没有这N个样本的坐标。每个样品也有一个重量。我想计算这些点之间的加权平均值。例如，在

s1={1,2,3}

和

s2={4,5,6}

之间

如果我们有坐标（x1，x2，…），这很容易做到：

在没有坐标的情况下，仅使用成对距离和权重是否可能得到相同的结果

我可以得出一个公式，定义单个样本和一个集合之间的距离，如下所示，但我不知道如何将其扩展到两个集合之间的距离：
假设

s={x1，x2}

D{x3,s} = (w1*D{x1,x3}^2+w2*D{x2,x3}^2)/(w1+w2)-(w1*w2*D{x1,x2}^2)/(w1+w2)^2

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PS：我知道我们可以将距离矩阵转换为坐标（例如使用）。我正在寻找跳过这一步的方法。

除了距离之外，没有直接计算重心的通用方法。您可以尝试使用（MDS）为N维空间中的点生成（可能是近似的）坐标。使用这些坐标直接计算质心

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注意：MDS生成的坐标不是唯一的。任何旋转/反射都会给出同样有效的解决方案；这是故意的。根据您的数据，可能还有其他几何对称。

我怀疑是否有唯一的解决方案。可以任意旋转和平移点，距离不会改变。不过，一般人会的。谢谢尼科。我想你说得有道理。但是如果这是真的，为什么我们可以唯一地计算一个点和一个没有坐标的集合之间的距离呢？类似于我提到的公式。更多想法：我错了。我认为旋转和平移不会改变结果。请注意，我们不需要加权平均坐标。我们需要两组加权平均值之间的距离，那么你想求两组平均值之间的距离吗？这个公式是从哪里来的？也许它的证明包含了更多关于如何扩展它的提示。顺便说一句，这个公式假设权重总和为1吗？谢谢你的回答。我想用样本的成对距离矩阵来计算两组样本的加权平均值之间的距离。我的最终目标是实现新版本的。我想给节点分配一些权重。因此，与其计算每个簇的质心，还不如计算每个步骤的质心（加权平均值）。可以使用样本的坐标（类似于我在问题中所展示的）。但不是距离矩阵（当然，据我所知）

D{x3,s} = (w1*D{x1,x3}^2+w2*D{x2,x3}^2)/(w1+w2)-(w1*w2*D{x1,x2}^2)/(w1+w2)^2