Math 如何计算a^b^c mod p？

我试图计算一些正整数a，b，c，p的a^b^c mod p。一种可能的（也是显而易见的）方法是使用快速模幂运算，它将在

O（log（b^c））=clog（b）

中运行。虽然我不介意这里的效率，但这种方法的明显缺点是，您需要一个显式的

b^c

二进制表示，它本身已经是指数形式了

因此，我的问题是，如果我不能将

b^c

表示为二进制表示，是否有一种方法可以从

a、b和c的二进制表示中计算
a^b^c
mod p

(a^b^c) mod p = (((a^b) mod p)^c) mod p

所以你可以

modpow(modpow(a,b,p),c,p);

其中，所有操作数结果和子结果都是标准整数。作为
modpow
您可以通过模
p
平方来使用功率，如下所示：




注意，这些都是利用特定选定的
p
的属性进行了一些优化的，因此您需要像这样更改行

if (DWORD(d)>=DWORD(p)) d-=p;

进入

[示例]

(2^3^5) % 6 = 
(8  ^5) % 6 =
  32768 % 6 = 2

(((2^3)%6)^5) % 6 = 
((   8 %6)^5) % 6 = 
(    2    ^5) % 6 =
    32        % 6 = 2


解决问题后，请检查此页。
上述答案modpow（modpow（a，b，p），c，p）看起来非常符合逻辑，
但它不会工作（您可以通过上面提到的CSES问题来验证）。使用这个公式/方法modpow（a，modpow（b，c，p-1），p）。
他们利用费马定理推导出这个modpow（a，modpow（b，c，p-1），p）。
顺便提一下，cpp代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
#define ar array
#define int long long
using namespace std;

const int mxN=2e5+2,mxM=1003,M=1e9+7;

int pM(int n,int p,int M)
{
    int res=1;
    while(p)
    {
        if(p&1)
            res=res*n%M;
        n=n*n%M;
        p>>=1;
    }
    return res;
}
signed main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
         int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        cout<<pM(a,pM(b,c,M-1),M)<<"\n";
    }

    return 0;
}

#包括
#定义ar阵列
#定义int long long
使用名称空间std；
常数int mxN=2e5+2，mxM=1003，M=1e9+7；
整数pM（整数n，整数p，整数M）
{
int res=1；
while（p）
{
如果（p&1）
res=res*n%M；
n=n*n%M；
p> >=1；
}
返回res；
}
签名main（）
{
int t；
cin>>t；
而（t--）
{
INTA、b、c；
cin>>a>>b>>c；
cout“不能将b^c表示为二进制表示”-您能对此进行扩展吗please@JesseBarnett从编程的角度来看，例如B＝2和C＝200，这个数字不能被“存储”为二进制表示形式，例如C++的本机数据类型。mod p，而不是a^b^c mod p。这里，a乘以b^c次，而不是a^b乘以c次如果a和p不是共素数，那么你仍然需要使用欧拉的toticent函数。只需计算a^（b^c）mod每个素数幂，并使用中国剩余定理（CRT）来计算答案。或者，更简单地说，如果d=gcd（a，p），然后计算a^x mod（p/d）其中x=（b^c）modñ（p/d）并使用CRT获得答案。计算出的a^（bc）mod p可能是重复的，而不是a^b^c。在这里，a被乘以自身b^c倍！不用担心，谢谢你的回答，我有点困惑。所以这在log（b）log（c）正确吗？@AspiringMat对于正常
int
变量，复杂性是
O（log（b）+log（c））
如果我们假设两个指数都受到
n
的限制，那么复杂度是
O（log（n））
。对于
bigint
操作数，但是操作
+，-，*，/
不再是
O（1）
，因此在这种情况下复杂度要差得多。这个答案是不正确的。（a^b^c）mod p不等于（（a^b）mod p）^c）国防部pI同意这并不完全清楚，这就是为什么我没有投反对票。我只是从他的讨论中猜测他指的是a^（b^c）。
#include <bits/stdc++.h>
#define ar array
#define int long long
using namespace std;

const int mxN=2e5+2,mxM=1003,M=1e9+7;

int pM(int n,int p,int M)
{
    int res=1;
    while(p)
    {
        if(p&1)
            res=res*n%M;
        n=n*n%M;
        p>>=1;
    }
    return res;
}
signed main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
         int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        cout<<pM(a,pM(b,c,M-1),M)<<"\n";
    }

    return 0;
}