Math 计算x mod y，其中y不能表示为浮点 作为一个典型的例子，考虑三角函数的参数约简问题，如计算X mod 2π作为计算Sin（x）的第一步。这类问题很难解决，因为不能只使用fmod，因为y（示例中的2π）是不可表示的

我提出了一个简单的解决方案，它适用于任意值y，而不仅仅是2π，我很好奇它（在性能上）与典型的参数缩减算法相比如何

基本思想是存储一个表，其中包含log2（y）到最大可能浮点指数范围内每个值n的2n mod y值，然后使用模运算的线性，将该表中的值与x值中设置的位相加。它总共有N个分支，最多N个加法，其中N是浮点类型的尾数位数。结果不一定小于y，但它是以N*y为界的，并且可以再次应用该过程来给出以log2（N）*y或

fmod

为界的结果，此时可以简单地使用，误差最小

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这能改进吗？典型的三角参数简化算法是适用于任意y还是仅适用于2π？

数学库中三角函数的最新实现在整个输入域中都能正确工作。它们通过表示一些与π相关的常数来实现，例如2/π，以达到所用浮点格式的足够精度

例如，对于IEEE双精度中的trig函数缩减，需要将常数表示为约1150位，以便在本质上是定点计算的情况下使用。这一方法由以下论文的作者首创：

佩恩和哈内克。三角函数的弧度归约。 SIGNUM通讯，18:19-241983

从那时起，其他作者对原始想法进行了修改和完善；基于浮点和基于整数的变量都是可能的。FDLIBM库提供了一个完整的示例：

FDLIBM作者的以下文章描述了此代码中使用的方法

吴国强。大参数的参数减少：好到最后一点

请注意，中间计算不必进行到1150位。因为在缩减中，前导位取消了计算，只需要在全常量中包含更小的一组位。由于需要多精度算法，这仍然是一个相当昂贵的操作

对于更严格限制范围内的三角函数参数缩减，其他更经济的方案是可能的，特别是当硬件支持FMA（融合乘法-加法）时

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用于三角参数约化的技术似乎可以扩展到任意高精度常数的约化。

那么该表如何解决您的问题呢？既然2Pi（一个超越数）不能以任何紧凑的方式表示，那么您如何期望2^n mod 2Pi是可表示的呢？为什么它会给出一个更正确的结果呢？它可以用最多1ulp的误差来表示。另一方面，x mod y（其中y的误差最大为1ulp）的误差最大为x/y*1ulp。特别是，如果x比y大许多数量级，则使用近似值对y进行模运算的结果没有意义，也就是说，这是完全错误的。@R..：如果x比y大许多数量级，那么在多少实际情况下x模y会有意义？如果X是Kahan求和的上分量，我可以看到它的精确值是有意义的，但是，如果计算这样一个模数的想法是精确的，那么，一个测量为25/32”（精确到1/64）的孔不应该被描述为与一个2mm的销钉大小相同，但应描述为具有0.0061515748“的间隙。如果孔恰好为25/32”，则测量结果是正确的，但是……如果没有信息表明孔的尺寸实际上是1/64的精确倍数，则计算尺寸差中的任何假定精度都是无意义的。