Algorithm 创建平面图的对偶

当我试图建立一个MSSP（多源最短路径）时，我看到了这一点，但我缺乏如何建立互调树的知识。直到现在，我创建了生成树，因此创建了平面图，但是我被卡住了，因为我不知道如何构建它的对偶。有没有什么具体的算法/方法或论文可以帮助我解决这个问题？当我搜索时，没有发现任何有用的东西

如果你还没有，你需要一个组合嵌入。有一些有效的算法可以从关联结构中获得一个，但是平面图的自然源通常具有自然嵌入。有许多方法可以表示嵌入。我使用了一个置换π映射，以逆时针顺序将每个半边映射到下一个半边，头部顶点相同。与每个（非孤立）顶点关联的是传入半边的循环链接列表

假设rev是一种排列，它将每一半边映射到另一半边，并具有相反的头部和尾部顶点。对偶图的嵌入置换是π和rev的组合。它以顺时针顺序将每个半边映射到面上的下半边（或在无限面上逆时针映射，因为您看到的是它的背面）。如果你亲自尝试一些例子，这会更清楚

从初始根计算最短路径后（我使用Dijkstra，除非MSSP实现比我快得多，否则使用渐进更快的算法不会有太大的相对改进），进行深度优先搜索，忽略属于最短路径树的边。（另一种选择是以Euler巡更顺序访问叉指树的半边，但这种方法似乎会导致额外的对数时间动态树操作。）

如果你还没有，你需要一个组合嵌入。有一些有效的算法可以从关联结构中获得一个，但是平面图的自然源通常具有自然嵌入。有许多方法可以表示嵌入。我使用了一个置换π映射，以逆时针顺序将每个半边映射到下一个半边，头部顶点相同。与每个（非孤立）顶点关联的是传入半边的循环链接列表

假设rev是一种排列，它将每一半边映射到另一半边，并具有相反的头部和尾部顶点。对偶图的嵌入置换是π和rev的组合。它以顺时针顺序将每个半边映射到面上的下半边（或在无限面上逆时针映射，因为您看到的是它的背面）。如果你亲自尝试一些例子，这会更清楚

从初始根计算最短路径后（我使用Dijkstra，除非MSSP实现比我快得多，否则使用渐进更快的算法不会有太大的相对改进），进行深度优先搜索，忽略属于最短路径树的边。（另一种选择是以Euler巡更顺序访问叉指树的半边，但这种方法似乎会导致额外的对数时间动态树操作。）

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根据网上找到的论文，我可以通过使用euler巡更图创建平面图，因此我对代码进行了安排，以便每次更改都可以在logn中完成。就像动态树一样。如果您使用dijkstra，则意味着您将具有n^2*n^2复杂性。是的，但我发现很难理解euler tour raph的操作如何与链接/切割树一起工作。因为它们可以用作叉指树。因为euler图不能存储有关路径的信息。非常感谢你的帮助。我只在初始化期间使用Dijkstra一次。MSSP的渐近运行时间仍然是O（n logn）。平面图有一个线性时间最短路径算法，但由于计算初始最短路径树只占总运行时间的一小部分，因此即使该步骤的运行时间为零，也没有多少改进。2.Euler巡更树不适用，因为它们不支持路径操作。我的意思是，你可以不使用堆栈就枚举叉指树的半边。根据网上找到的论文，我可以通过使用euler巡更图创建平面图，因此我对代码进行了安排，以便每次更改都可以在log n中完成。就像动态树一样。如果您使用dijkstra，则意味着您将具有n^2*n^2复杂性。是的，但我发现很难理解euler tour raph的操作如何与链接/切割树一起工作。因为它们可以用作叉指树。因为euler图不能存储有关路径的信息。非常感谢你的帮助。我只在初始化期间使用Dijkstra一次。MSSP的渐近运行时间仍然是O（n logn）。平面图有一个线性时间最短路径算法，但由于计算初始最短路径树只占总运行时间的一小部分，因此即使该步骤的运行时间为零，也没有多少改进。2.Euler巡更树不适用，因为它们不支持路径操作。我的意思是，您可以枚举叉指树的半边，而无需使用堆栈。