Algorithm 求集合中整数符号组合的算法，使集合和为0

给定一组S的n正整数，我们想知道是否可以为S（+或-）中的每个数字找到一个符号组合，使得S的和为0

如何有效地解决这个问题？基于类似的问题，我认为某种动态规划是正确的。有没有关于这个具体问题的文献（我很难找到它）

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我想这与子集和问题类似。但是，现在我们必须使用整个集合，对于每个整数，si，我们可以包含-si或+si，但不能同时包含两者。

这个问题的解决方案涉及子集和问题

如果有一种方法可以求和到数组总和的一半，那么我们可以将所有这些数字都设置为负数。剩下的数字将是正数。由于这些子集的总和为总总和的一半，因此它们各自的总和将为0

以下是c++中的代码：

#include<stdio.h>

int arr[] = {1, 2, 2, 3, 4};
int n = 5; // size of arr
int sum = 0;

// dp array only needs to be [n + 1][total sum + 1] big
bool dp[30][100];
inline void subset_sum(){
    for (int i = 0; i <= sum; i++)
        dp[0][i] = false;

    for (int i = 0; i <= n; i++)
        dp[i][0] = true;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= sum; j++) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            if (arr[i - 1] <= j)
                dp[i][j] |= dp[i - 1][j - arr[i - 1]];
        }
    }
}
int main(){
    for (int i = 0; i < n; i++)
        sum += arr[i];

    // run subset sum dp using a bottom-up approach
    // True = sum is possible, False = not possible
    subset_sum();

    int max_half;
    for (int i = sum / 2; i>=1; i--){
        if (dp[n][i]){ // it is possible to sum to i using values in arr
            max_half = i;
            break;
        }
    }

    // output will be the closest sum of positives
    // and negatives to 0
    printf("%d\n", 2 * max_half - sum);

    return 0;
}

#包括
int arr[]={1,2,2,3,4}；
int n=5；//arr的大小
整数和=0；
//dp阵列只需要[n+1][总和+1]大
bool dp[30][100];；
内联无效子集_sum（）{
对于（int i=0；i，假设问题似乎是NP完全问题，
使用SAT、MILP、CP或ASP解算器是最佳选择，
因为这些都是为解决这类问题而量身定做的

解决方案

下面是一个使用ASP（答案集编程）的解决方案

给定一个文件
instance.lp
：

value(12).
value(12).
value(1).
value(2).
value(3).
value(5).
value(6).
value(7).

% every value can be positive (or not)
{pos(X)} :- value(X).

% fail if the sum is not 0
:- not 0 = #sum {V : pos(V); -V : not pos(V), value(V)}.

% format output
#show pos/1.
#show neg(V) : not pos(V), value(V).

以及文件
encoding.lp
：

value(12).
value(12).
value(1).
value(2).
value(3).
value(5).
value(6).
value(7).

% every value can be positive (or not)
{pos(X)} :- value(X).

% fail if the sum is not 0
:- not 0 = #sum {V : pos(V); -V : not pos(V), value(V)}.

% format output
#show pos/1.
#show neg(V) : not pos(V), value(V).

这个问题可以用，
工具集合的ASP解算器（可通过conda、pip、Ubuntu包管理器等轻松安装）

电话：

clingo instance.lp encoding.lp

为您提供以下结果：

Answer: 1
pos(1) pos(2) pos(3) pos(5) pos(7) neg(6) neg(12)

您可以使用以下方法列举所有可能的解决方案：

clingo instance.lp encoding.lp 0

给你

Answer: 1
pos(1) pos(2) pos(3) pos(5) pos(7) neg(6) neg(12)
Answer: 2
pos(2) pos(3) pos(6) pos(7) neg(5) neg(1) neg(12)
Answer: 3
pos(5) pos(6) pos(7) neg(3) neg(2) neg(1) neg(12)
Answer: 4
pos(12) pos(1) pos(2) pos(3) neg(7) neg(6) neg(5)
Answer: 5
pos(12) pos(6) neg(7) neg(5) neg(3) neg(2) neg(1)
Answer: 6
pos(12) pos(1) pos(5) neg(7) neg(6) neg(3) neg(2)

ASP

使用ASP解决此问题具有以下优点：


易于维护（问题描述非常简短，易于阅读）
非常快（基于SAT和
声明性（您只描述问题，而不是如何解决问题）
易于使用其他约束进行扩展
还能够进行各种优化（如优化最大子集以形成总和）

编辑
您也可以使用js编译的
clingo
复制并粘贴两个文件的内容，自己在线查看结果。这个想法是有道理的，但在尝试了一些东西之后，似乎有些错误。除了dp[6]超出范围（我想应该是dp[5]），生成的dp数组是[0,4,1,3,1,2]，这意味着不存在组合。但是，我们可以清楚地形成组合1+2-2+3-4。知道发生了什么吗？仔细研究一下，我选择使用的dp条件可能不是这种情况下的最佳选择。它不仅仅取决于值与0的接近程度。同时，我仍在尝试想出一个更好的条件我终于找到了这个问题的解决方案，并编辑了我的答案。请看一看。