Algorithm 使用大O表示法时平均复杂度的含义

在回答一场关于快速排序的复杂性的辩论时，他开始发表评论。我在大学时代所记得的是，快速排序在最坏的情况下是

O（n^2）

，在平均情况下是

O（n log（n））

，在最佳情况下是

O（n log（n））

（但界限更紧）

我需要的是对

平均复杂度
含义的正确数学解释，以便向那些认为big-O符号只能用于最坏情况的人清楚地解释它的含义

我记得如果要定义平均复杂度，你应该考虑所有可能输入的算法的复杂性，计算有多少退化和正常的情况。当n变大时，如果退化案例数除以n趋向于0，那么你可以说正常案例的整体函数的平均复杂度

这个定义是正确的还是平均复杂度的定义不同？如果它是正确的，有人能比我更严格地陈述它吗？
一般案例分析做以下几点：

获取固定长度的所有输入（例如
n
），将该长度的所有实例的所有运行时间相加，并建立平均值

问题是，您可能必须枚举所有长度
n
的输入，才能得出平均复杂度。
我认为您的定义是正确的，但您的结论是错误的

如果“坏”案例的比例趋于0，那么平均复杂度就等于“正常”案例的复杂度，这并不一定是真的

例如，假设1/（n^2）个案例为“坏”案例，其余案例为“正常”，并且“坏”案例恰好进行（n^4）次运算，而“正常”案例正好进行n次运算

那么所需的平均操作数等于：

(n^4/n^2) + n(n^2-1)/(n^2)

这个函数是O（n^2），但不是O（n）

然而，在实践中，您可能会发现时间在所有情况下都是多项式的，“坏”情况的比例呈指数级缩小。这时，在计算平均值时，您可以忽略不好的情况。
如果您正在寻找一个正式的定义，那么：

平均复杂度是随机输入的运行时间。
你说得对

大O（大θ等）用于测量函数。当你写f=O（g）时，f和g的意思并不重要。它们可以是平均时间复杂度、最坏时间复杂度、空间复杂度、表示素数分布等

最坏情况复杂性是一个大小为n的函数，它告诉您给定大小为n的输入的算法的最大步数是多少

平均案例复杂度是一个大小为n的函数，它告诉您给定大小为n的输入的算法的预期步数

正如您所看到的，最坏情况和平均情况复杂性都是函数，因此您可以使用大O来表示它们的增长。
让我们参考：

设f和g是定义在实数子集上的两个函数。如果

所以定义的前提是函数f应该以一个数字作为输入，并产生一个数字作为输出。我们在说什么输入号码？它应该是序列中要排序的许多元素。我们可以谈论什么输出数字？它可以是一系列的操作来对序列进行排序。但是停下来。什么是函数

函数是一组输入和一组允许输出之间的关系，其性质是每个输入仅与一个输出相关

我们是否在用先前的定义生成一个输出？不，我们没有。对于给定大小的序列，我们可以得到大量不同的操作。因此，为了确保定义适用于我们的案例，我们需要将一组可能的结果（操作数）减少为一个值。它可以是最大值（“最差情况”）、最小值（“最佳情况”）或平均值

结论是，讨论最佳/最差/平均情况在数学上是正确的，在排序复杂度上下文中使用大O表示法而不使用大O表示法有点草率

另一方面，我们可以更精确地使用大θ表示法而不是大O表示法。
关于这个论点，我认为如果你给运行时间以大O表示法，但没有限定它，那么你应该谈论最坏的情况，这仅仅是因为你们说时间是由一个具有指定大O的函数所限定的。若时间是有界的，那个就意味着最坏情况下的时间是有界的，根据“界”的定义。如果你说，“这是O（n logn）平均情况”，那么这是很好的定义，也就是你在这个问题上所说的。也许值得尝试一下question@Chris：尽管该网站的常见问题说“教科书中典型的家庭作业问题”太基本了，我认为这和那一样基本。你会在上面看到一页数学符号，而不是初学者friendly@ChrisS：我是一名程序员，但以前做过一些数学，所以这对我来说不是什么问题。但对其他人来说，拥有更容易接近的东西确实是件好事。好吧，我同意你的看法。我正按照你的建议计算平均值的复杂度。这甚至是我在对相关问题的评论中提出的演算。我说得太快了，我们保持正常情况，这显然并不总是正确的，这取决于退化情况的复杂性。按照我所说的，坏的情况甚至可能永远持续下去，程序永远不会停止，这对平均水平来说绝对不好。@Kris：是的，不停止的情况是一个比我更简单的例子，尽管从技术上讲，它不是你正在分析的“算法”。请引用。维基文章并没有直接的联系。事实上，我发现，+1对于你的答案，似乎（如果我们相信维基百科的话），正式的定义实际上是随机输入的