Algorithm 构造覆盖特定顶点子集的最小生成树

我有一个无向，正边权图（V，E），我想要一个覆盖顶点V子集k的最小生成树（Steiner树问题）

我没有将生成树的大小限制为k个顶点；相反，我确切地知道MST中必须包含哪些k顶点

从整个MST开始，我可以缩减边/节点，直到得到包含所有k的最小MST

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我可以使用Prim算法得到整个MST，并在子集k的MST未被破坏的情况下开始删除边/节点；或者，我可以使用Floyd Warshall获得所有对的最短路径，并以某种方式合并这些路径。有更好的方法来解决这个问题吗？

在受限图（k，E'）上运行Prim算法，其中E'={（x，y）∈ V:x∈ k和y∈ k} ）。构建那个图需要O（| E |）。

你提到的问题是一个著名的NP难问题，叫做。多项式时间内没有已知的解，许多人认为不存在这样的解。

这里有很多困惑。根据OP的说法：

我没有将生成树的大小限制为k个顶点；相反，我确切地知道MST中必须包含哪些k顶点

这是图上的Steiner树问题。这不是k-MST问题。Steiner树问题的定义如下：

给定一个加权图G=（V，E），子集S⊆ 顶点的V， 和一个根r∈ 我们想找到一个最小权树，它将S中的所有顶点连接到 r

正如其他人提到的，这个问题是NP难的。因此，可以使用近似算法

早期/简单近似算法

两种著名的方法是高桥方法和Kruskal方法（这两种方法都由Rayward Smith扩展/改进）：

• 高桥H，松山A：图中Steiner问题的近似解。数学。日本1980，24:573-577
• Kruskal JB：关于图的最短生成子树和旅行商问题。《美国数学学会学报》第7卷；1956:48-50
• Rayward Smith VJ，Clare A：关于寻找Steiner顶点。网络1986，16:283–294

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高桥的最短路径近似（由Rayward Smith修改）

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Kruskal近似算法（经Rayward Smith修改）

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现代/更先进的近似算法

在生物学中，最近的方法使用空腔方法来处理这个问题，这导致了一种“改进的信念传播”方法，该方法在大数据集上显示了良好的准确性：

• 巴亚提，M.，博格斯，C.，布朗斯坦，A.，查耶斯，J.，拉美赞普尔，A.，泽奇纳，R.：斯坦纳树的统计力学。物理。牧师。莱特。101(3),037208(2008)15
• 应用：最优子网络识别的Steiner树方法：一项实证研究。生物信息学。BMC生物信息学2013 30；14:144. Epub 2013年4月30日

在搜索引擎问题的背景下，这些方法关注的是可以在一定程度上预处理的超大数据集的效率

• G.Bhalotia、A.Hulgeri、C.Nakhe、S.Chakrabarti和S.Sudarshan。使用银行在数据库中搜索和浏览关键字。在ICDE中，第431-440页
• G.卡斯内基、M.拉马纳特、M.索齐奥、F.M.苏查内克和G.维库姆。星形：关系图中的Steiner树近似。2009年ICDE'09第868-879页

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如果删除不需要的顶点，也可能会丢失连接相距较远的

k

顶点的中间边。例如，如果我有：

k--o--o--o--k

其中

o

表示一个不必要的顶点，

k

表示我需要的一个顶点，如果我删除中间的

o

将无法在我的

k

顶点之间构造MST，它不一定覆盖所有的顶点，只覆盖k中的顶点。至少包含所有

k

的MST，然后尽可能少地包含其他内容。您好，您能解决您的问题吗？如果可能的话，您能帮助处理伪代码吗？我也有类似的问题，但这个图没有加权。问题不清楚k是一个数字还是一个集合。请你澄清一下好吗？这在某些情况下可能会正常工作，但甚至不能保证E'是连接的——即使是连接的，也可以通过引入Steiner点（即不是k中的顶点）来节省任意多的距离。（如果距离服从三角形不等式，则小于“任意多”，但没有人说它们必须如此。）@j_random_hacker有兴趣发布替代解决方案吗？@user2398029：我对meh的答案投了赞成票（我不知道为什么“蜥蜴比尔”删除了adi早些时候的答案，说的基本上是一样的）。基本上这是一个NP难问题，需要优化求解；如果你用谷歌搜索“Steiner树近似”，你可能会得到一些好的算法。@user2398029:从adi的答案中查看此链接的第3章可能会有所帮助：。（我（重新）在这里发布，因为我可以看到已删除的帖子，但我不确定rep截止点是什么。）实际上，图中的Steiner树有一组固定的k个顶点作为输入，而OP只给出k，让算法找到该集。这个问题叫做NP难问题，也是NP难问题。另见维基百科。@Palec事实上，这是错误的。“我并没有将生成树的大小限制在k个顶点上；相反，我确切地知道MST中必须包含哪些k个顶点。”这个问题是Steiner树问题。另外，-1到@meh，因为这个问题是NP难的，这并不意味着我们不能用近似算法得到有用的解。这个答案无助于OP解决他的问题