Algorithm 在一个边在线性时间内被红/蓝染色的图中，使用恰好k条红边寻找生成树

给定一个具有红色和蓝色边以及常数K的图G，设计一个确定的线性时间算法，该算法可以找到一个具有精确K条红色边的G生成树（如果不存在这样的生成树，则返回

False

）

我们迄今为止所做的工作：

让每个红边的权重为-1，每个蓝边的权重为0

找到最小生成树（使用标准线性时间算法）。因此，我们有一个最小权重的生成树T，这意味着我们使用了尽可能多的红边，因为红边只会减少权重

如果T中的红色边少于K条，则返回

False

如果正好有K条红色边，我们就完成了，T就是答案

如果有超过K条红色边，我们需要用蓝色边替换它们

这是我们的问题，我们如何在线性时间内做到这一点

每增加一条蓝边都会产生一个循环，因此从循环中删除一条红边会起作用，但我们如何才能以这种方式确保线性？这是一个好方法吗？

提示 您可以在线性时间内使用两次循环来执行此操作。（通常Prim的算法不是线性时间，但当您只有两种类型的边时，您不需要花费时间对边进行排序）

通过1 在第一个过程中，在红色边之前跟随蓝色边，并标记您被迫使用的任何红色边

如果在这个过程中标记C边，那么我们知道在任何生成树解中都必须至少有C条红色边，所以如果C>K，这是不可能的

通过2 假设我们在第一遍中找到了C（ 在第二遍中，在蓝色之前跟随红色边，直到附加红色边的总数达到K-C。在第二遍中，您也可以跟随第一遍中标记的红色边（这些不计入您的总数）

---

如果附加的红边未到达K-C，则不可能。

不清楚您是在寻找具有K条红边的最小生成树，还是任何具有K条红边的生成树，或者是一个生成树，它在那些有K个红边的生成树中是最小的。刚刚发现它可以用边收缩来解决…不知道如何使用它。@Tyler：对我来说，这很清楚：“找到一个有K个红边的G的生成树”什么都没说minimality@RachelBernouli-在你的问题中，“找到一个最小生成树（使用标准的线性时间算法）。”你指的是哪种线性时间算法？很好的一种，我打算结合Kruskal提出一个非常类似的想法：首先使用

e=B+R

（B=蓝边，R=红边）运行它.设X为R中在该运行中使用的边。现在使用

e=X+（R\X）再次运行Kruskal+B

现在，一旦你选择了

k

条红边，就停止添加红边。@NiklasB。听起来也一样好。如果你把它作为一个答案，我会投赞成票：）请你进一步解释一下好吗？Prims算法适用于加权图，那么你说的“先去蓝边”是什么意思？我的意思是使用与你相同的方法（例如，将权重0分配给蓝边，将权重1分配给红边）。一旦完成此操作，Prim的算法将始终在可能的情况下优先添加蓝边而不是红边。@NiklasB。当运行Kruskal时，它不会使用联合查找并导致O（V logV）解吗？OP要求的是线性解。