Algorithm 图的临界点：以最小点数和权重到达所有节点

这是数据结构和算法课程的一个问题，所以我不是在寻找一个具体或完整的答案，但希望能有一些提示来帮助我了解我是否在正确的轨道上（或者那些可以让我走上正确轨道的建议）

给定一个无向位置图，其中节点是位置，道路是边缘（按穿过某条道路所需的时间加权），找出可以到达所有节点的最小点数*，最大权重为5。 *点是图上的任意点。它们可以位于边或节点上。从现在起，我称之为临界点

例如，如果我们有这个图：

节点1->节点3（权重1）->节点2（权重7）

节点2->节点1（权重7）->节点4（宽1）->节点7（宽8）

节点3->节点1（1）->节点4（2）->节点5（2）->节点6（2）

节点4->节点2（1）->节点3（2）->节点5（2）

节点5->节点3（2）->节点4（2）->节点7（3）

节点6->节点3（2）->节点7（5）

节点7->节点6（5）->节点5（3）->节点2（8）

然后临界点将是：一个位于节点1和2之间的边缘，节点1的权重为2，节点2的权重为5（注意它们的总和必须仍然等于7，节点1到2的原始权重），第二个位于节点7本身。 第一个临界点可以达到节点1到6，最大重量为5。从该点开始，只有节点7在权重5中无法到达，因此第二个临界点位于节点7本身。因此，在权重为5（或更小）的情况下，可以从这两个临界点获得整个图

我的想法是：为每个鼻子保留一个布尔值“done”，表示从已经找到的某个临界点可以或不能到达它。 从某个节点开始。使用BFS并遍历图形。在未完成的节点上，执行以下操作：

检查节点的邻接列表。忽略权重大于10的边，因为无法放置到达所处节点以及这些边指向的节点的临界点。忽略指向“完成”节点的边。如果没有留下任何边，请将与当前节点位置相同的临界点添加到临界点列表中。否则，请检查剩余的最大权重边，并在此边上创建临界点：临界点有2个选项。从当前节点到关键节点的权重=5，从关键节点到相邻节点（边缘指向的节点）的权重为EdgeWight-5，或者：从当前节点到相邻节点的权重为5，从当前节点到关键节点的权重为EdgeWight-5。尝试这两种方法并检查哪个临界点可以到达权重5中的更多节点。使用具有多个可访问节点的节点，并将这些节点标记为已完成

这里的问题是有效性的证明。每个临界点（使用最大权重边时）有两个以上的选项，我只考虑两个。但另一方面，如果我考虑更多的复杂性问题，算法已经不是太优化。此外，我们可能需要在节点周围的边上放置多个临界点。该算法只放置一个或一个，然后继续，因为我假设放置多个点可能会放置比需要多得多的点

所以基本上，我不太确定从这里走到哪里。任何帮助都将不胜感激。

下面是我的心声，欢迎你在推理中找出漏洞

看起来你手头有封面问题。例如，给定集合覆盖问题的一个实例，可以构建您的问题的一个实例，这样解决后一个问题也会解决前一个问题。当然，集合覆盖问题是NP完全问题

这是降价单。给定一个泛集U及其子集的一些集合S覆盖所有U，构建一个仍然覆盖所有U的S的最小子集

我们构建了一个图G，如下所示。u中的每个元素u都是一个红色顶点。s的每个元素s是一个蓝色顶点。如果u \在s中，我们用长度为5的边连接相应的顶点。如果s的两个元素s_i和s_j相交，则我们用长度为5的边连接相应的顶点。没有其他的边缘

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假设我们已经确定了G中的一组临界点Q。如果Q中有任何非蓝色点，则将其移除并替换为最近的蓝色顶点（如果有多个，则替换其中任何一个）。可到达顶点集不会变小。所以对于任何极小临界集，我们都可以建立一个只蓝的极小临界集，而只蓝的临界集正是U的覆盖集。

当你说“可以到达所有边”时，你的意思是每条边上的每个点都必须在临界点的5以内吗？或者只是每个节点（即边的端点）必须在临界点的5范围内？例如，如果图形只是一条长度为20的单条边，那么前者需要3个临界点，而后者只需要2个。对不起，我的错。我指的是每个节点，不是每个边。在你们的例子中只有2，我们能假设所有的边权重都是整数吗？如果是这样的话，那么必须有一个最小点解，所有临界点都出现在沿边的整数距离上，这将允许使用更简单的算法，因为可能的临界点位置集是有限的，因此我们可以很容易地枚举所有的可能性（尽管这将导致求解时间是图形总权重的函数）另一个想法是：给定一个边沿，就不足以尝试在你所考虑的边上的两个临界点放置。考虑下面的图，边长度等于连字符数：<代码> A -B-C--D <代码>。。每个距离为3。这是一个递归解决方案的框架，可以保证找到最佳值，假设整数距离：1.选择任何未“完成”的节点v。2.尝试在每个有距离的整数点添加一个临界点。恐怕我不太了解一些事情。什么是