Algorithm 求整数幂根

求一个数的所有整数幂根的最佳（最有效）算法是什么

也就是说，给定一个数字

n

，我想找到

b

（基数）和

e

（指数），以便

n=be

我想获得

b

和

e

---

注：

n

b

和

e

是正整数

这取决于任务的维度，我的方法是否能满足您的需要

首先，有一个显而易见的解决方案：e=1，对吗？

---

从那时起，如果你想找到所有的解：我能想到的所有算法都需要找到n的素因子。如果这仅仅是一个独立的任务，没有什么比对质数施加暴力更好的了（如果我没有错的话）。在找到第一个素因子p及其对应的指数（即最大数k，即p^k/n）后，只需检查k的除数是否为e。对于每一个这样的指数l（同样，l迭代k的所有除数），您可以使用二进制搜索来查看n的第l个根是否为整数（相当于找到新的解）。

首先查找

n的素因式分解：
n=p1e1 p2e2 p3e3…

然后找到
e1
，
e2
，
e3
。。。通过使用

现在，对于
g
的任何系数
e
，您可以使用：

b=p1e1/e p2e2/e p3e3/e…

你有
n=be
我认为蛮力方法应该有效：从2开始尝试所有
e
s（1是一个微不足道的解决方案），然后再从2开始尝试
r=n^1/e
，一个
双
。如果
r
小于2，则停止。否则，计算
ceil（r）^e
和
floor（r）^e
，并将它们与
n
进行比较（您需要
ceil
和
floor
来补偿浮点表示中的错误）。假设整数适合64位，则不需要尝试超过64个
e
值

下面是C++中的一个示例：

#include <iostream>
#include <string>
#include <sstream>
#include <math.h>
typedef long long i64;
using namespace std;
int main(int argc, const char* argv[]) {
    if (argc == 0) return 0;
    stringstream ss(argv[1]);
    i64 n;
    ss >> n;
    cout << n << ", " << 1 << endl;
    for (int e = 2 ; ; e++) {
        double r = pow(n, 1.0 / e);
        if (r < 1.9) break;
        i64 c = ceil(r);
        i64 f = floor(r);
        i64 p1 = 1, p2 = 1;
        for (int i = 0 ; i != e ; i++, p1 *= c, p2 *= f);
        if (p1 == n) {
            cout << c << ", " << e << endl;
        } else if (p2 == n) {
            cout << f << ", " << e << endl;
        }
    }
    return 0;
}

混合interjay和dasblinkenlight的方法。首先在
n
的素因子分解中找到所有小素因子（如果有）及其指数。“small”的适当值取决于
n
，对于中等大小的
n
，
p
e
必须是整数吗？很抱歉，我忘了提及，我已经更新了问题，我仍在搜索以查找内容。如果你的问题是素数分解，首先找到所有小于
n/2
的素数，并创建一个大小为n/2+1的int数组，在启动时将其命名为零，然后对每个素数（p）测试
n/p==0
，直到n/p==0，设置n/=p并增加A[p]，然后你将有素数分解，如果你想用更快的方法，请在新问题中提问。@SaeedAmiri没有必要去
n/2
，只要去
sqrt（n）
。任何剩余的因子都会自动成为最后一个素数。实际上我正在尝试实现一个素数分解算法，我需要解决这个问题。具有讽刺意味的是，你要我找出主要因素。@ChingPing:这远远不是一个好方法。求整数幂根是一个非常简单的多项式时间问题，而整数因式分解是一个非常复杂的问题，没有已知的多项式时间算法。@SergeDundich如果n非常大，它是多项式吗？否则我不认为你的观点，因为为小数字寻找素数也是多项式！更妙的是，我们有像rho pollard这样的大数字算法！另外请注意问题是“寻找所有整数幂根”@ChingPing：“如果n非常大，它是多项式吗？”当然是。谈到多项式（输入大小为
P（s）=P（log2（n））
）运行时间是指运行时间
t（s）=O（P（s））
对于任何可能的
n
，因此对于任何可能的
s=log2（n）
，包括非常大的问题。@ChingPing:对于已知的问题，没有多项式时间算法。所有已知的算法，包括Pollard rho、二次筛、通用数字域筛（最著名的通用算法）都比多项式算法慢得多。看起来似乎有道理，你能用一些代码来澄清这个解决方案吗？@dasblinkenlight:这是一个完美解决方案的正确想法。您只需尝试从
2
到
log2（n）
（对数基数2）的
e
。唯一的问题是求幂代码
for（inti=0；i！=e；i++，p1*=c，p2*=f）
远远不是最优的（您可以执行小于
2*log2（e）
的乘法，而不是
e
乘法）。但是主要的概念无论如何都是正确的。@SergeDundich我保留了原始的
幂（c，e）
code，因为
e
的硬下限是64。
power（c，e）
的智能算法会产生更多的问题（即使我现在的
for
循环也可能从注释中受益；
log2
power算法会更不明显），所以我保留了这个微不足道的算法。”（如果我没有错的话）“你错了。该算法比“对素数施加暴力”要快得多。找到原始问题所要求的所有整数幂根是一个简单得多的（多项式时间）问题。正如一些人可能会说的：“唯一比正确更好的事情就是错误。”谢谢你们教育我。PS：在我发布后不久，我意识到我提出的解决方案介于两者之间，我几乎想不出我的解决方案是最优的（可能是分解巨大的数字，你知道其中有非常小的素因子？）。
65536, 1
256, 2
16, 4
4, 8
2, 16