Algorithm 对于给定整数序列的闭式函数，有哪些算法？

我正在寻找一种编程方法，以获取一个整数序列，并输出一个封闭形式的函数。比如：

给定值：1,3,6,10,15

返回：n（n+1）/2

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样本可能有用；语言不重要。

我认为你的问题是病态的。给定序列中任意有限个整数 没有生成函数，下一个元素可以是任何东西

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你需要对序列做一些假设。它是几何图形吗？算术？

如果您的数据保证可以表示为多项式，我认为您可以使用（或任何提供数据回归拟合的套件）。如果相关性正好为1，那么这条线非常适合描述该系列

回归分析中有很多统计数据，我对计算的基础知识都不太熟悉，无法提供更多细节

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但是，

这涉及到一个极其深刻、复杂和活跃的数学领域。在某些情况下（线性复发），解决方案几乎是微不足道的，而在其他情况下（想想2、3、5、7、11、13等等），解决方案几乎是不可能的。你可以先看看赫伯·威尔夫（Herb Wilf）关于这个问题的书（参见第1（2e）页），但这只会让你走到这一步

但我认为你最好的选择是放弃，当你需要知道答案时，质疑斯隆的综合性，而不是花时间阅读这一深奥主题中最古怪的人物之一的文章

任何告诉你这个问题可以解决的人都是在向你出售蛇油（参见Wilf书（2e）第118页）。

一般来说，没有一种功能

对于指定的序列，在其感兴趣的整数序列数据库中查找133个匹配项。我在这里复制了前5个

三角形数：a（n）=C（n+1,2）=n（n+1）/2=0+1+2+…+n.
0、1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120、136、153、171、190、210、231、253、276、300、325、351、378、406、435、465、496、528、561、595、630、666、703、741、780、820、861、903、946、990、1035、1081、1128、1176、1225、1326、1378、1431

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求和{0如果您的序列来自多项式，则除以差将发现该多项式以牛顿基或二项式基表示。请参阅。

Axiom计算机代数系统包含一个用于此目的的软件包。您可以

以下是FriCAS（Axiom的分支）中示例序列的输出：

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没有一般的答案；可以使用一个简单的方法来实现；换句话说，假设您的序列是未知函数泰勒展开的系数序列，然后应用一个算法（类似于连分数算法）来“简化”这个泰勒展开（更准确地说：找到一个非常接近初始（和截断）函数的有理函数。Maxima程序可以做到：查看页面上的“pade”：

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另一个答案是关于Axiom的FriCAS fork中的“guess”包（参见jmbr之前的答案）。如果我没有错的话；这个软件包本身就是从Christian Krattenthaler的Rate程序中得到启发的；你可以在这里找到它：也许通过查看它的来源可以告诉你其他方法。

可能只是缺乏数学知识，但这个问题似乎没有足够的界。界的建议：找到一个给定exactly 10整数，如果可能的话，否则返回null。不幸的是，类似这样的事情在很大程度上简化了这个问题。如此之多以至于它几乎变得毫无价值。我主要担心的是我对这个问题考虑得太多了，并且有一些众所周知的方法来解决它。事实并非如此，事实上我需要考虑你可以通过取所有给定的根，比如a，b和c，然后用f（x）=（x-a）*（x-b）*（x-c）的形式写出多项式.但这并不意味着它们不是满足它的其他多项式。所有类型的序列。也许在没有生成函数的情况下会给出一个“序列”。我也希望能够处理这种情况。我现在处于第一方，所以如果你认为有什么方法我应该重新考虑这个问题，我会感谢你的输入。Some奇妙的链接；正是我所寻找的。我感觉答案会很复杂。我想也许我需要更多的主题知识，然后才能提出正确的问题。谢谢！哇，我花了太长时间证明我的解决方案。你比我快了一英里：）你可能还想看看《具体数学》这本书你可能会发现它比Wilf的书更容易理解。我对这个答案的问题是，它隐式地假设有一个正确的函数，而事实上有无限多的封闭形式函数通过任何指定的有限点集——仅举一个例子，一个n次多项式将通过任何n+1给定点但更大的问题是：无法选择这些函数中的哪一个函数是“最好的”。为什么？一个原因是因为序列中的下一个数字可能是任何数字。在你前面提到这一点之前，我一直在-1。你给出了一个示例算法，而“正确”answer断言不存在这样的算法。有趣。你的回答假设序列是有限的，我认为这是一个正确的假设。@Martin:ephemient清楚地指出，解的状态被限制为n次多项式，它总是适合于有限的n个点集。小的更正：n次多项式可以始终适用于n+1点的有限集合。+1。这应该是正确答案IHMO。最重要的一点是，问题严重欠约束，我认为您给出的1、3、6、10、15的5个不同合理函数的列表非常好地证明了这一点。

(3) -> guess([1, 3, 6, 10, 15])

                 2
                n  + 3n + 2
(3)  [[function= -----------,order= 0]]
                     2
Type: List(Record(function: Expression(Integer),order: NonNegativeInteger))