Algorithm I'；我真的很困惑时间的紧迫性

我理解一个算法的时间

T（n）

可以通过定义

O（g（n））

来限定：

T(n) is O(g(n)) iff there is a c > 0, n0 > 0, such that for all n >= n0:

对于大小为

n的每个输入，

A最多需要

c*g（n）

步数。

T（n）

是大小为n的所有输入中最长的时间

然而，我不明白的是

Ω（g（n））

的定义。定义是，对于大小为n的一些输入，A至少采取

c*g（n）

步骤

但是如果这是

Ω
的定义，那么我不能找到一个与上界相同的任何算法的下界吗？例如，如果在最坏的情况下进行排序需要
O（nlogn）
，那么我是否能够轻松地显示
Ω（nlogn）
，以及如何为任何大小n至少有一个错误输入，这将需要
nlogn
步骤？假设我们正在谈论的是
heapsort
。
我真的不确定我在这里遗漏了什么，因为每当我被教一个新算法时，某个方法的时间要么是
Ɵ（g（n））要么是O（g（n））
，但没有解释为什么它要么是
Ɵ要么是O

我希望我所说的足够清楚，如果不清楚的话，那就去问问你误解了什么。我真的需要澄清这一困惑。多谢各位
 我熟悉的定义是T（n）是Ω（g（n）），如果对于某些
n0
，对于所有
n>n0
，
T（n）>=g（n）*k
对于某些
k

如果同时是O（g（n））和Ω（g（n）），则为Θ（n）。
O
是一个上界，这意味着我们知道一个算法在最坏的情况下，
O（n lgn）
渐进地最多需要一个常数次
n lgn
步数

Ω
是一个下限，这意味着我们知道在最坏的情况下，
Ω（n lg n）
算法不可能采取渐进小于a
n lg n
的步骤

Ɵ
是一个严格的界限：例如，如果一个算法是
Ɵ（nlgn）
，那么我们知道它都是
O（nlgn）
（至少和
nlgn
一样快）和
Ω（nlgn）
（所以我们知道它不比
nlgn
快）

你的论点有缺陷的原因是你实际上假设你知道
O（nlgn）
，而不仅仅是
O（nlgn）

例如，我们知道在比较排序上有一个
Ω（nlgn）
一般界。一旦我们证明了mergesort的
O（nlgn）
，这就意味着mergesort是
Ɵ（nlgn）
。请注意，mergesort也是
O（n^2）
，因为它不比
n^2
慢。（人们通常不会这样描述它，但这就是形式符号的含义。）

对于某些算法，我们不知道紧界限；简单计算模型中的通用算法称为
Ω（n lg n）
，因为它可以用于执行排序，但我们只有
Ɵ（n^2）
算法。该问题的最佳算法是介于
nlgn
和
n2
之间；我们可以说它是
O（n^2）
和
Ω（n lgn）
，但我们不知道
Ɵ

还有
o（f）
，这意味着严格小于
f
，还有
ω（f）
，这意味着严格大于
f
，
我在软件行业工作了10年，唯一想到的是o符号……这种“对于大小为n的某些输入”的定义也适用于大o，如果我没弄错的话。这基本上意味着，对于一个较低的数字n，它可能高于/低于您的边界，通常假设一个点n_0，之后它将始终是正确的。然而，在学习时，你可能只需要其他界限，大O是最重要的界限，也是你一生中都会看到的界限。对于Ω（你答案中的第四行），你说“在最坏的情况下”，那么为什么我不能证明堆排序在最坏的情况下可以取Ω（nlogn）？根据定义，我不能通过找到一个大小为n的输入x来证明Ω，这将导致heapsort至少执行nlogn步吗？那样的话，希普索尔就会变成Ɵ（n lg n）。如果我理解你的意思，那么heapsort不可能有任何大小为n的输入x，这会导致它被Ω（nlogn）限制在以下？有没有办法知道什么时候我找不到Ω（g（n））？@shn通过使用关于计算树高度或熵的标准参数，你绝对可以证明堆排序是\Omega（n lgn）。堆排序是θ（nlgn），由该参数加上它是O（nlgn）的参数。我不确定你下一个问题的意思，但是如果你知道o（nlgn），你就找不到ω（nlgn），或者对于某些f