Algorithm 查找MST的所有关键边

我有一个问题来自Robert Sedgewick关于算法的书

临界边。从图中删除会导致 要增加的MST权重称为临界边。演示如何查找图形中的所有关键边 与E log E成比例的时间图。注：此问题假设边权重 不一定是不同的（否则MST中的所有边都是关键的）

请提出一个解决这个问题的算法

我能想到的一种方法就是及时完成任务。 我的方法是运行kruskal算法

但是每当我们遇到一条边，它在MST中的插入会创建一个循环，如果 循环已包含具有相同边权重的边，则已插入的边将不是关键边（否则所有其他MST边都是关键边）

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这个算法正确吗？如何扩展此算法以在时间E日志E中执行此任务。

是的，您的算法是正确的。我们可以通过比较Kruskal算法的执行与类似的执行来证明这一点，在类似的执行中，一些MST边e的代价变为无穷大。在第一次执行之前，两次执行都是相同的。在e之后，第一次执行的连接组件比第二次少一个。这种情况持续存在，直到在第二次执行时，认为边e'连接了e将具有的组件。由于边缘e是迄今为止建造的森林之间的唯一区别，因此它必须属于e'所创建的循环。在e'之后，执行会做出相同的决定，林中的区别在于第一次执行有e，第二次执行有e'

实现该算法的一种方法是使用动态树，一种表示标记林的数据结构。此ADT的一种配置在对数时间内支持以下方法

• MakeVertex（）-构造并返回新顶点
• 链接（u、c、v）-顶点u和v不得连接。以c为代价创建从顶点u到顶点v的未标记边
• 标记（u，v）-顶点u和v必须是边e的端点。马克e
• 已连接（u，v）-指示顶点u和v是否已连接
• FindMax（u，v）-顶点u和v必须连接。返回从u到v的唯一路径上未标记边的端点以及该端点的最大开销。此边的端点按其在路径上的显示顺序给出

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我不认为这在实践中是一个好的算法。动态树木，如瑞士军刀，用途广泛但复杂，通常不是完成工作的最佳工具。我鼓励您考虑如何利用这样一个事实，即我们可以等到处理完所有边后再确定临界边是什么。

我认为您建议的临界边条件是正确的。但是没有必要找到一个循环并测试它的每一条边

Kruskal算法以增加权重的顺序添加边，因此可以将边添加序列分解为等重边添加块。在每个等重块中，如果有多条边连接相同的两个组件，则所有这些边都是非关键边，因为可以选择其他任何一条边。（我说它们都是非关键的，因为我们实际上没有得到一个特定的MST作为输入的一部分——如果我们是，那么这将确定一个特定的边来称为非关键的。Kruskal实际选择的边只是初始边排序的人工制品，或者排序是如何实现的。）

但这还不够：可能是将权重为4或更小的所有边添加到MST后，我们发现有3条权重为5的边，连接组件对（1,2）、（2,3）和（1,3）。虽然这3条边中的1条以上连接的组件对不多，但我们只需要（任意）2条——使用所有3条边将创建一个循环

对于每个等权重块（权重为w），我们实际需要做的是（从概念上）创建一个新的图，其中MST的每个组件（即使用权重小于w的边）都是一个顶点，当这些组件之间存在权重为w的边时，两个顶点之间就有一条边。（这可能会导致多条边。）然后，我们在该图的每个组件上运行DFS以查找任何循环，并将属于该循环的每条边标记为非关键。DFS需要O（nEdges）时间，因此每个块（其大小总和为E）的DFS时间之和将为O（E）

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请注意，Kruskal的算法需要时间O（Elog E），而不是您似乎暗示的时间O（E）——尽管像Bernard Chazelle这样的人已经接近线性时间MST构造，但TTBOMK还没有人做到这一点！：）

我不明白为什么dfs时间之和是O（E）。考虑这一图，DFS每第三步遍历KruSkAl算法3, 5, 7次、9, 11次顶点不是正确的吗？这导致稀疏图至少有O（V^2）额外的时间（我不确定如何生成E，这对密集图来说是一个糟糕的测试，不过很抱歉，我发布了NecroPost））目前我正在寻找ElogV解决方案（实际上这是在Sedgewick的书中提出的）@Ralor：我的O（E）关于DFS时间总和的说法有点错误，因为您还需要时间来维护“组件图”（到目前为止，在该图中，每个顶点都是MST的一个组件，并且每个边都是原始图中的一条加权w边），并且每个操作至少需要反向阿克曼时间。（处理原始图中的每个等重边块会导致在组件图中合并一些顶点子集，并提取新的边子集。）然后，请注意，DFS将恰好访问原始图中的每条边一次。