Algorithm 计算朝向给定侧的线的法线

给定的是一条直线（段），由两个向量定义

start（x，y）

和

end（x，y）

。我还有一个点

p（x，y）

，它位于直线分隔的两个区域中的任何一个（即不在直线上）

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我如何计算直线朝向

p

所在侧的法线？

我的数学技能有点生疏，因此我无法给出准确的计算结果，但您要做的是（假设您描述的是2D）：

首先你计算一个正常的n

然后计算P'，它是点P在直线上的垂直投影。 基本上，你要做的是，你“创建”另一条线，并使用步骤1中的向量n作为方向（

y=p+x*n

其中y，p和n是向量，p实际上是你的p（x，y），x是实数），然后你将这条线与第一条线相交，它们相交的点是p'。
既然你是奥地利人，其他人请原谅我用了一个德语单词，我真的不知道英文翻译，也找不到。P'=Lotfußpunkt

计算P-P′。如果它在两个组件中的符号与n相同，则n是您正在搜索的正常值。如果它有相反的符号，-n是您要搜索的符号 我希望这个想法很清楚，尽管我不知道所有的英语专业术语。

开始=（a，b） 结束=（c，d） p=（x，y）

坡度（起点）=（d-b）/（c-a）

斜率（标准）=-（c-a）/（d-b）

范数行必须包括p=（x，y），所以

ynorm=-（（c-a）/（d-b））*xnorm+（y+（（c-a）/（d-b））*x）

A = (a,b) and B = (c,d) define the line segment
P = (p,q) be the other point.

定义：

dot( (p,q), (r,s) ) == p*r + q*s

然后向量：

v = ( c-a, d-b)

定义沿线段的方向。其垂直度为：

u = (d-b, (-(c-a)) = (d-b,a-c)

这可以通过使用

v

获取点积来看出。要从垂线获取法线，只需除以其长度：

n = u /|u|, |u| = sqrt( dot(u,u))

我们现在只需要知道p相对于正常值的位置。如果我们采取：

dir = dot( (P-A), n) ) 

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然后

dir>0

表示

n

与

p

方向相同，而

dir<0

表示方向相反。如果

dir==0

，则

P

实际上位于延长线上（不一定是线段本身）。

首先，通过取

结束-开始

和

结束

的叉积，确定点位于线的哪一侧：

z=（xend xstart）（yp yend）-（yend ystart）（xp xend）

如果z>0，则该点位于直线的左侧（由站在起点并面向终点的人看到）。如果z（-yk，xk）

或者，如果该点位于直线的右侧，则向右旋转k：

（xk，yk）=>（yk，-xk）

y=mx+c

是法线方程，其中m为斜率，c为任何常数

你有开始和结束。让我们把它们称为（x1，y1）和（x2，y2）以及连接它们的线路L1。 这条线的斜率m1为（y2-y1）/（x2-x1）。这条线垂直于你需要的线，我们称之为L2，斜率为m2。两条相互垂直的直线的斜率的乘积为-1。因此,， m1*m2=-1

因此，可以计算m2。现在，你需要找到直线L2的方程。在P（x，y）线上有一个点。您可以用这种方式替换： y=m2*x+c

这会给你c。获得直线方程后，可以将其转换为参数化形式，如下所示：

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直线方程如下所示

A = start.y-end.y
B = end.x-start.x
C = start.x*end.y-start.y*end.x

A*x + B*y + C = 0

到点线的最小距离

d

为

d = (A*px+B*py+C)/sqrt(A^2+B^2)

如果该值为正值，则该点从矢量

（开始->结束）

逆时针旋转。如果为负数，则为顺时针旋转。因此，如果

（开始->结束）

指向上，则直线左侧的距离为正

范例

start = (8.04, -0.18)
end = (6.58, 1.72)
P = (2.82, 0.66)
A = (-0.18)-(1.72) = -1.9
B = (6.58)-(8.04) = -1.46
C = (8.04)*(1.72)-(-0.18)*(6.58) = 15.01
d = (A*(2.82)+B*(0.66)+C)/√(A^2+B^2) = 3.63

对

d

的计算显示了与草图中向量

（近->p）

长度相同的值。

N=（Ey-Sy，Sx-Ex）

垂直于直线（它是

SE

旋转90°，未标准化）

然后计算点积的符号

N . SP = (Ey - Sy)(Px - Sx) + (Sx - Ex)(Py - Sy),

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它会告诉你法线指向哪一边。

你能详细说明一下第2步吗？谢谢。刚刚更新了我的答案，希望能更清楚。代替第3步，您也可以从第2步为x求解方程，如果x为负，n为您的答案，但是如果x为正，-n为您的答案。最后一行中

xnorm

的值是多少？ynorm和xnorm是法线方程中的变量您希望p到直线的最小距离是多少？