Algorithm 渐近式表示法

根据我的研究：我被要求确定一个函数相对于另一个函数的复杂性。i、 e.给定

f（n）

和

g（n）

，确定

O（f（n（）

。在这种情况下，我用

O（）、θ和ω表示法替换值，比较两者并得出复杂性

但是，在解决复发问题的
替代方法中
，每个标准文档都有以下行：

•[假设T（1）=Θ（1）。]

•<代码>猜测O（n3）。（证明O和Ω 单独使用。）

•

假设T（k）≤ k

•<代码>证明T（n）≤ cn3由诱导产生。

我怎么才能找到O和OΩ 当没有其他信息（除了f（n））时？我可能是错的（我，肯定是错的），欢迎提供有关上述信息

上面的一些假设与这个问题有关：

T（n）=4T（n/2）+n

，而步骤的基本轮廓是针对所有这些问题的。

通过主定理可以解决特定的递归，但您可以从替换方法中获得一些反馈。让我们试试您对

cn^3

的初步猜测

T(n)  = 4T(n/2) + n
     <= 4c(n/2)^3 + n
      = cn^3/2 + n

所以

T

是

O（n^3）

。这个推导中有趣的部分是我们用一个立方项来消除一个线性项。像这样的过度使用通常是我们可以猜得更低的迹象。让我们试试

cn

T(n)  = 4T(n/2) + n
     <= 4cn/2 + n
      = 2cn + n

T(n)  = 4T(n/2) + n
     <= 4(c(n/2)^2 - n/2) + n
      = cn^2 - 2n + n
      = cn^2 - n

起初，这看起来也是一个失败。不过，与我们对

n

的猜测不同的是，这个缺陷几乎是界本身的o。我们可以通过考虑

cn^2-h（n）

形式的界来关闭它，其中

h

是

o（n^2）

。为什么要减法？如果我们使用

h

作为候选边界，我们会出现赤字；通过减去

h

，我们会出现盈余。

h

的常见选择是低阶多项式或

logn

。让我们试试

cn^2-n

T(n)  = 4T(n/2) + n
     <= 4(c(n/2)^2 - n/2) + n
      = cn^2 - 2n + n
      = cn^2 - n

它比

cn^2-2n

“给定f（n）和g（n），确定f（n）”

-可能是打字错误（因为，如果你已经有f（n），那该怎么办呢？）？

T(n)  = 4T(n/2) + n
     <= 4(c(n/2)^2 - n/2) + n
      = cn^2 - 2n + n
      = cn^2 - n

T(n)  = 4T(n/2) + n
     <= 4(c(n/2)^2 - 2n/2) + n
      = cn^2 - 4n + n
      = cn^2 - 3n,