Algorithm 在间隔/点上优化DP

这个问题很容易在O（n3）时间内简单地解决。问题是这样的：

一条数字线上有N个唯一点。你想报道每一件事吗 数字线上的一个点，有一组间隔。你可以 在任何地方放置一个间隔，创建一个间隔需要花费

B+MX

间隔，其中

B

是创建间隔的初始成本，以及

X

是间隔长度的一半，而

M

是每个间隔的成本 间隔的长度。你想找到最低成本来支付每一笔费用 单间隔

样本数据：

Points = {0, 7, 100}
B = 20
M = 5

因此，最佳解决方案是57.50，因为您可以以20+3.5×5的成本构建区间[0,7]，以100+0×5的成本构建区间[100100]，总计57.50

我有一个O（n3）解决方案，其中DP是覆盖

[左，右]

点的最低成本。因此，答案将出现在

DP[1][N]

中。对于每一对

（i，j）

我只是迭代

k={i…j-1}

并计算

DP[i][k]+DP[k+1][j]

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然而，这个解是O（n3）（我认为有点像矩阵乘法），所以在N>2000时速度太慢。有什么方法可以优化它吗？

这里有一个二次解决方案：

按坐标对所有点进行排序。调用点

p

我们将保留一个数组

A

，以便

A[k]

是覆盖第一个

k

点的最低成本。将

A[0]

设置为零，将所有其他元素设置为无穷大

对于每个

k

从

0

到

n-1

以及每个

l

从

k+1

到

n

，设置

A[l]=min（A[l]，A[k]+B+M*（p[l-1]-p[k]）/2

你应该能够说服自己，最后，

A[n]

是覆盖所有

n

点的最低成本。（我们考虑了所有可能的最小覆盖间隔，并在某种意义上从“左到右”进行了考虑。）

您可以加快速度，使其在O（n logn）时间内运行；将步骤3替换为以下内容：

设置

A[1]=B

。对于从

2

到

n

的每个

k

，设置

A[k]=A[k-1]+min（M/2*（p[k-1]-p[k-2]），B）

这里的想法是，我们要么延长上一个间隔以覆盖下一点，要么在

p[k-2]

结束上一个间隔，然后在

p[k-1]

开始一个新的间隔。我们唯一需要知道的是两点之间的距离

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还要注意，当计算

A[k]

时，我只需要

A[k-1]

的值。特别是，您不需要存储整个数组

A

；只有它的最新元素。

您还可以解释一下您是如何在第二个解决方案的复杂性上得出

O（n log n）

的吗？不应该是

O（n）

？您仍然需要对输入进行排序。这需要的不仅仅是线性时间。