Algorithm 在矩形中计数点

我有很多（数十亿）2D点可以预处理，我想回答以下形式的查询：

给定矩形的所有四个角，输出矩形内的点数

矩形可以是任意方向（这意味着矩形的轴可以是任意角度，而不仅仅是水平或垂直方向）

有没有一个快速实用的算法

更新。是否有任何数据结构来存储可证明查询处于次线性时间的点

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更新II答案似乎是坚定的否定。在任何情况下都接受最流行的答案。

您需要的是某种二进制空间分区数据结构。这将为您提供一个候选列表，您可以对其进行真正的“多边形中的点”测试

我建议您确保这是您真正应该自己编写的代码。例如，许多数据库都内置了这种功能。您的数据实际上是否驻留在数据库中？可以吗？（重新发明轮子毫无意义…）

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您可以在这里看到多边形中的点问题的一个很好的答案：

我建议找到一个可以应用于空间的旋转+移位变换，这样矩形的一个角位于

（0,0）

中，两条边沿着

x

和

y

轴

现在，您检查这些点，应用相同的转换，只需检查

0

和

0

旧答案（如果您无法预先预处理这些点）：

• 将矩形刻在包含矩形中，边/边的方向为xy轴
• 快速排除它之外的所有点
• 使用此处解释的原理：使用矩形的四条边（注意：由于您总是使用相同的矩形检查所有点，因此可以预先计算一些值）

通过快速包含保留在内接矩形中的点（边/边的方向为xy轴），可以在性能上获得一些东西（不多，这取决于矩形的方向）。这需要一些预先计算，但考虑到你有很多点，这是可以忽略的

新答案：

• rect

  是我们的输入矩形
• 假设您有

  f1（点，矩形）

  ，它检查点是否在矩形内。你可以用我上面提到的那个
• 假设您有

  f2（shape，rect）

  ，这可以说明shape是否完全包含在rect中，或者rect是否完全包含在shape中，或者shape和rect是否相交
• 形状将是具有一定数量边的多边形（不高或与n成比例，因此我们可以假设

  f2

  是

  O（1）

  ），或2D平面中由两条边分隔并延伸到无限远的区域（例如，由xy轴正截面分隔的区域）
• 假设您有很多时间来预处理点，但不是无限的。假设我们能负担得起一个O（n*log（n））算法

我们想要得到的是一个算法，在运行时调用f1和f2的时间最短。例如，与（相同顺序的）

log（n）

所以我们想把二维平面分成

m

形状，每个形状包含

p

点。在运行时，我们用f2检查每个形状，我们可以有4种情况：

矩形完全包含在形状中：使用f1 I计数 此形状中包含的位于矩形中的所有点

（O（p））

，我结束

形状完全包含在图形中 矩形：我将点数加在累加器上 包含在形状中<代码>（O（1））

矩形和形状不匹配 相交：我跳过这个形状

矩形和形状相交： 使用f1，我计算此形状中包含的所有位于 矩形

（O（p））

，我继续

在案例1中，我们可以很幸运地快速下降，但通常我们必须检查所有形状，并且对于其中至少一个形状，我们必须检查包含的所有点。所以这个算法应该是

O（p）+O（m）

。考虑到

p*m=n

，如果我们选择

p=m=sqrt（n）

我们得到

O（sqrt（n））

，这是我们用这种方法能得到的最好结果。（注意：我们执行f1的次数？这个数字实际上取决于矩形的形状，因此，例如，如果矩形非常长，它将与许多区域相交，导致对f1的多次调用。但是，我认为我们可以假设矩形的度量值的顺序与

n

或

的顺序不同>sqrt（n）

甚至

log（n）

：

n

是巨大的。）

我们可以从这里加强；例如，我们可以说形状之间有邻接，当我第一次发现形状和矩形之间有重叠时，我只检查相邻的形状。然而，我们必须检查的形状的平均数量将在p/2左右，并且

O（p/2）=（O（p））

。因此没有有效的收益

真正的好处是，如果我们在形状中加入一些层次结构

首先，我检查所有的点，找到我的界限值max_x，max_y，min_x，min_y。（假设这些边界为>>n。如果我们可以对点分布有先验知识，那么我们可以针对的优化将完全不同） 我们将我们的空间划分为形状，每个形状包含（大约）对数（n）个点。我们首先使用xy轴将2D平面划分为4个形状（我也可以根据边界值居中）。这将是我们倒置金字塔的第一层。 周期性地：对于每个连续的区域

public class DataPoint
{
    double X, Y;
    ...
}
public bool IsInBoundingBox(Point p1, Point p2, Point p3, Point p4)
{
    // assume p1, p2, p3, p4 to be sorted
    return (X>p1.X && X<p3.X && Y>p4.Y && Y<p2.Y);
}

// sort points of QueryRectangle: p1 is left-most, p2 is top-most, p3 is right-
// most, and p4 to be bottom-most; if there is a tie for left-most, p1 should
// be the bottom-left corner, p2 the top-left corner, p3 the top-right corner,
// and p4 the bottom-right corner

// See if the QueryRectangle in question is aligned with the grid; if it is,
// then the set of DataPoints that lie within the BoundingBox are within the
// QueryRectangle and no further calculation is needed

if (p1.X == p2.X || p1.X == p3.X || p1.X == p4.X) 
{
    // is orthogonal (aligned with axes)
    foreach(DataPoint dp in listDataPoints)
        if(dp.IsInBoundingBox())
        {
            // dp is in QueryRectangle; perform work
        }
}
else
{   
    foreach(DataPoint dp in listDataPoints)
        if(dp.IsInBoundingBox())
        {
            // perform further testing to see if dp is in QueryRectangle
        }
}

// sort points of QueryRectangle: p1 is left-most, p2 is top-most, p3 is right-
// most, and p4 to be bottom-most; if there is a tie for left-most, p1 should
// be the bottom-left corner, p2 the top-left corner, p3 the top-right corner,
// and p4 the bottom-right corner

public class DataPointList : List<DataPoint>
{
    public List<DataPoint> GetPointsInRectangle(Point p1, Point p2, Point p3, Point p4)
    {
        List<DataPoint> tempListDataPoints = new List<DataPoint>();
        foreach(DataPoint dp in this)
            if(dp.IsInBoundingBox()) tempListDataPoints.Add(dp);

        if (!(p1.X == p2.X || p1.X == p3.X || p1.X == p4.X))
        {
            // needs transformation
            tempListDataPoints.TranslateAll(-1 * p1.X, -1 * p1.Y);
            tempListDataPoints.RotateAll(/* someAngle derived from the arctan of p1 and p2 */);
            // Note: you should be rotating counter-clockwise by some angle >0 but <90

            // the new p1 will be 0,0, but p2, p3, and p4 all need to undergo the same transformations
            // transP1 = new Point(0,0);
            // transP2 = new Point(p2.Translate(-1 * p1.X, -1 * p1.Y).Rotate(/* someAngle derived from the arctan of p1 and p2 */));
            // transP3 = ...; transP4 = ...;

            foreach(DataPoint dp in tempListDataPoints)
                if (!(dp.X>transP1.X && dp.X<transP3.X && dp.Y>transP1.Y && dp.Y<transP3.Y)) tempListDataPoints.Remove(dp);
        }
        else
        {
            // QueryRectangle is aligned with axes, all points in bounding box
            // lie within the QueryRectangle, no need for transformation or any
            // further calculation

            // no code needs to go here, but you may want to keep it around for notes
        }

        return tempListDataPoints;
    }
}

A D a
B E b
C F c

d = 1/(AE − BD)

A' = Ed
B' = −Bd
C' = (BF − EC)d

D' = −Dd
E' = Ad
F' = (DC − AF)d

a' = b' = 0
c' = 1

|(P1.x, P1.y, 0)x(P2.x, P2.y, 0)[3]|+
|(P2.x, P2.y, 0)x(P3.x, P3.y, 0)[3]|+
|(P3.x, P3.y, 0)x(P4.x, P4.y, 0)[3]|+
|(P4.x, P4.y, 0)x(P1.x, P1.y, 0)[3]|