Algorithm “最坏情况”的运行时；找到重复n/2次以上的元素“；使用随机

有一个问题

请您帮助估算使用随机变量的解决方案的时间复杂度：

在数组中拾取随机元素

遍历数组并计算所选元素的出现次数

如果计数>N/2-返回该元素

重复步骤1

如果我使用提供随机均匀数的完美随机生成器，这种方法的最坏情况是什么<代码>O（N²）

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我的直觉告诉我，平均来说，它应该在两次尝试中给出答案，但这只是一般情况。如何证明呢？我不太确定如何估计随机算法的运行时间。

假设实际上有一个元素出现超过n/2次，预期的运行时间是O（n）。你可以这样想——每次你选择一个元素时，你都需要做O（n）运算来检查它是否是多数元素。接下来的问题是，根据预期，你需要选择多少元素。每次您随机选择一个元素时，您至少有1/2的概率选择某个占多数的元素。根据预期，这意味着您需要在找到多数元素之前选择两个元素，因此运行时将为O（n）。如果你想知道为什么，请注意，在k个探针（k>0）之后找到你想要的东西的概率最多为2-k，因为你需要让第一个k-1探针不成功，然后让第k个探针成功。然后，您可以将预期值计算为

0*2-0+1*2-1+2*2-2+

=2

（我们知道这个总和正好是2，尽管证明它有点混乱。）

但是，在最坏的情况下，每次选择一个元素时，都会选择一个不是多数元素的元素。这是非常不可能的，虽然-概率，你没有找到一个多数元素后，k轮最多是2-k。当k=300时，这个数字小于宇宙中原子数的1。因此，即使您无法绑定最坏情况下的运行时，从天文学角度来看，它也不太可能是您可以安全忽略的

---

希望这有帮助

假设实际有一个元素出现超过n/2次，则预期运行时间为O（n）。你可以这样想——每次你选择一个元素时，你都需要做O（n）运算来检查它是否是多数元素。接下来的问题是，根据预期，你需要选择多少元素。每次您随机选择一个元素时，您至少有1/2的概率选择某个占多数的元素。根据预期，这意味着您需要在找到多数元素之前选择两个元素，因此运行时将为O（n）。如果你想知道为什么，请注意，在k个探针（k>0）之后找到你想要的东西的概率最多为2-k，因为你需要让第一个k-1探针不成功，然后让第k个探针成功。然后，您可以将预期值计算为

0*2-0+1*2-1+2*2-2+

=2

（我们知道这个总和正好是2，尽管证明它有点混乱。）

但是，在最坏的情况下，每次选择一个元素时，都会选择一个不是多数元素的元素。这是非常不可能的，虽然-概率，你没有找到一个多数元素后，k轮最多是2-k。当k=300时，这个数字小于宇宙中原子数的1。因此，即使您无法绑定最坏情况下的运行时，从天文学角度来看，它也不太可能是您可以安全忽略的

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希望这有帮助

对于随机算法，预期运行时间更好地描述了它们的运行时间。对于您描述的算法，预期运行时间最多为

S = n * 1/2  + 2n * 1/2^2 + 3n * 1/2^3 + ... up to infinity

我们可以通过以下方式解决这个问题：

S =      n/2 + 2n/2^2 + 3n/2^3  + ... up to infinity
2S = n + 2n/2 + 3n/2^2 + 4n/2^3 + ... up to infinity

(subtracting the top from bottom)
S = n + n/2 + n/4 + n/8 + ... up to infinity
  = 2n 

---

因此，预期运行时间是O（n）。

对于随机算法，预期运行时间更好地描述了它们的运行时间。对于您描述的算法，预期运行时间最多为

S = n * 1/2  + 2n * 1/2^2 + 3n * 1/2^3 + ... up to infinity

我们可以通过以下方式解决这个问题：

S =      n/2 + 2n/2^2 + 3n/2^3  + ... up to infinity
2S = n + 2n/2 + 3n/2^2 + 4n/2^3 + ... up to infinity

(subtracting the top from bottom)
S = n + n/2 + n/4 + n/8 + ... up to infinity
  = 2n 

因此，预期的运行时间是O（n）。

如果我们谈论最坏情况的复杂性，我们指的是输入的最坏情况，即强制算法进入最坏可能运行时间的输入

随机算法也是如此。我们计算最坏情况输入的预期复杂度

在您的示例中，最差的输入是长度为

n

的数组，该数组只包含一个数字

a

⌊n/2⌋+1次

复杂性现在是
O（n）⋅E[X]
，其中
X
是在选择
a
之前，您必须从数组中随机选择一个数字的尝试次数。
如果
a
在数组中是
m
次
E[X]=n/m
保持不变。因此，对于最坏情况的输入，我们得到
E[X]=n/(⌊n/2⌋+1） 

因此，这个随机算法的最坏情况复杂度为
O（n）
如果我们谈论最坏情况复杂度，我们指的是输入的最坏情况，即迫使算法进入最坏可能运行时间的输入

随机算法也是如此。我们计算最坏情况输入的预期复杂度

在您的示例中，最差的输入是长度为
n
的数组，该数组只包含一个数字
a
⌊n/2⌋+1次

复杂性现在是
O（n）⋅E[X]
，其中
X
是在选择
a
之前，您必须从数组中随机选择一个数字的尝试次数。
如果
a
在数组中是
m
次
E[X]=n/m
保持不变。因此，对于最坏情况的输入，我们得到
E[X]=n/(⌊n/2⌋+1） 

因此，该随机算法的最坏情况复杂度为
O（n）