Algorithm 不可区分代表制有效解？

我们有S1，S2，…，Sn组。这些集合不必是不相交的。我们的任务是为每个集合选择一个具有代表性的成员，以便选择的元素总数尽可能少。一个元素可以存在于多个集合中，并且可以表示它所包含的所有集合。有没有一种算法可以有效地解决这个问题？

重述之后，回答这个问题更容易：让原始集合S1、S2、…、Sn成为宇宙的元素，让原始集合成员成为集合本身：T1、T2、…、Tm（其中Ti包含元素{Sj}，它们是包含相应成员的原始集合）

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现在我们必须用集合T1，T2，…，Tm覆盖宇宙S1，S2，…，Sn。确实如此。这是一个众所周知的NP难问题，因此没有有效的算法来解决它（除非理论家通常说P=NP）。正如你在维基百科页面上看到的，有一个贪婪的近似算法；它是有效的，但近似比不是很好。

不想窃取Evgeny的荣誉，但这里有一个相当简单的方法，可以更严格地说明海报问题的一般情况是NP难的

考虑从（V，E）中的顶点V寻找最小集X的问题，其中E中的每一条边都与X中的至少一个顶点相邻

边可以由无序的两元素集{va，vb}表示，其中va和vb是V中不同的元素。请注意，表示为{va，vb}的边e与vc相邻，当且仅当vc是{va，vb}的元素

因此，最小顶点覆盖问题与寻找V的最小大小子集X相同，其中由E中的边定义的每个边集{va，vb}包含X中的元素

如果有一个算法可以有效地解决原始问题，那么就有一个算法可以有效地解决上述问题，因此也可以有效地解决最小顶点覆盖问题。

我假设“有效”是指多项式时间

Evgeny Kluev是正确的，这个问题是NP难的。它的决策版本被称为，并且在这个概念引入后不久就被证明是我们现在所称的NP完全。虽然Evgeny的归约是从击中集问题到集覆盖问题，但不难看出显式的逆归约

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给定一个集合C={C1，C2，…Cm}，其并集为U={u1，u2，…，un}，我们想找到一个最小基数子集C'，其并集也等于U。在初始问题中，将Si定义为{Cj in C | ui是Cj}的一个元素。然后，S={S1，S2，…，Sn}的最小命中集等于我们所需的C'.

如果你能接受接近最优的解决方案，那么需要考虑的两种算法是模拟退火算法和遗传算法（它们可能会得到最优解，但不一定）。模拟退火可以用于生产电子CAD自动定位（因为我是Wintek自动定位程序开发团队的一员）。

是的，设置封面是NP难的。但是，将任意问题简化为NP难问题并不会使原来的问题变成NP难问题。@sentinel:没错。但在这种特殊情况下，并没有归结为NP难问题。相反，我们有一个重述，或者，换句话说，NP难问题的同一性。我必须仔细阅读它，因为我急于不同意这个问题没有一个有效的算法，但叶甫根尼的答案显然是正确的答案。你可以改进你的答案，展示如何减少这个问题的集合覆盖率，这将证明这个问题是NP难的。这个问题似乎不需要他覆盖

{S1，…，Sn}

，而是要确定至少一个集合中存在的最小元素集，以及所有集合中的整体元素集。例如，如果

S1={1,2}

和

S2={2,3,4,5}

，则元素2对这两个集合都具有代表性，因此代表性的最小数量为1。这与集合覆盖问题不同。@Shahbaz Evgeny的意思是让U={S1，S2}成为你的宇宙，定义T1={S1}，T2={S1，S2}，T3=T4=T5={S2}（每个Ti是包含i的所有集合的集合）。我们可以用T2覆盖宇宙，这与{2}是最小击中集这一事实相对应。你能定义一个有代表性的成员吗？如果一个元素对所有集合都是公共的，那么它是所有集合的代表吗？答案是这个元素？看起来你寻求的是。如果是这样的话，我会发布一个详细的答案。@rrufai，不一定。例如

S1={1,2}，S2={2,3}，S3={3,4}

。他的问题的答案是2，即

2

和

3

可以被选为三组的代表，这是最小的数字。如何用不相交集解决这个问题？你愿意联合

S1

和

S2

，因为他们共用一个号码吗？然后你也可以联合

S2

和

S3

，但这就剩下最后一组了。@Shahbaz：是的，你说得对。这行不通。让S.e代表S的某些元素。你可以将所有可能的组合联合起来——联合（S1.e，S2.e），联合（S1.e，S3.e），联合（S2.e，S3.e）——所有的n（n-1）/2，但联合是破坏性的。当您调用union时，基集不断变化。您所描述的不是命中集问题。在命中集合问题中，集合C'只需要每个Cj中有一个元素。因此，Cj的并集不一定等于U。@rrufai我们正在寻找的C'是C上集合覆盖问题的（优化形式）解。因此，C'的并集必须等于C的并集（我称之为U）。通过适当地定义S（可以在多项式时间内完成），S上的击中集问题（的优化形式）的解决方案产生C上的集合覆盖问题的解决方案。如果我们有一个总是解决击中集问题的多项式时间算法，NP必须