Algorithm 楼层求和算法

有没有一种快速算法可以计算

?？p、 q，k，l，A和B是整数。所谓“快”，我的意思是它应该比简单的O（B-a）循环快得多

相关的：

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如果我们设置k=0，则有一个O（log（p）+log（q））算法可以解决这个问题。

这里是时间O（q）的解决方案。（我假设p和q是相对素数，否则你应该先减少分数）

对于[A，A+q）范围内的每个整数r，可以确定

floor [p*(A+r)/q + k/l]

设为n（r），然后你可以将你的和重新表示为

sum_{r=0}^{q} sum_{y=0}^{y_max(r)} (n(r)+p*y),

在哪里

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现在，每个内部和都可以在O（1）中计算，因为它是完全显式的，所以得到O（q）总的来说。

因此，尽管

p

和

q

是整数，但您不需要整数除法？如果因子

p/q

和

k/l

是常量，那么在大O表示法中使用它们几乎没有意义。您要求的复杂性没有意义：您正在添加N个元素N=B-A；p，q，k，l不会影响计算最终和所采取的步骤数，因此不影响复杂性。也许你想要的是比公式给出的O（n）更好的东西。@Ivaylo Strandjev:有一个楼层函数阻止你这样做that@M欧姆，潘德雷：O（B-A）必须避免。复杂性来自于一个相关的算法，该算法在k=0时解决问题——该算法的复杂性为O（log（p）+log（q））。我编辑了这个问题陈述，因为它让很多人感到困惑。谢谢！但是，我仍然在寻找一些可以处理10^12.p，q，k，l，a，B或它们的任意组合的算法：）

y_max(r) = floor[ (B-A)/q ]