Algorithm 我怎样才能找到一种使边数最小化的方法？

我正在考虑一种算法来解决以下问题：

由顶点和边组成的给定图

有N个客户希望从一个顶点移动到另一个顶点。 每个客户需求都需要一条有向边来连接两个顶点

问题是如何找到满足所有客户要求的最小边数

有一个简单的例子：

• 客户1希望从顶点a移动到顶点b
• 客户2希望从顶点b移动到顶点c
• 客户3希望从顶点a移动到顶点c

最简单的方法是为每个客户提供优势：

• 边1：顶点a->顶点b
• 边2：顶点b->顶点c
• 边3：顶点a->顶点c

但实际上只需要两条边（即边1和边2）即可满足三个客户需求

如果客户数量很大，如何找到满足所有客户要求的最小边

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有解决这个问题的算法吗？

您可以将问题建模为一个混合整数程序。您可以为“使用弧a->b”和“客户c使用弧a->b”定义二进制变量，并将要求写为线性不等式。如果你的图形不是太大，你可以在合理的时间内用一个混合整数程序求解器（CPLEX，GUROBI，但网上也有免费的替代方案）来求解这些模型

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我知道，如果你不熟悉线性规划，这个解决方案需要一些工作，但它保证在有限的时间内找到最佳解决方案，你可能可以为（比如）1000个客户和1000个弧求解。

如果你有N个顶点，你总是可以用N条（有向）边构造一个解决方案。只需创建一个有向循环V_1->V_2->V_3->…->V_N->V_1。从每个顶点V_a到每个其他顶点V_b的有向路径不能有较少的边（因为有向树必然包含一片叶子）。如果叶是->叶，则叶是不可访问的（如果边缘从叶向外），或者叶是接收器（无法连接到其他任何东西）。

无需使用任何新算法。您可以使用BFS/DFS算法

Find if there exists any path between source and destination.
   if !true
      add a direct edge between source and destination
      count++;
return count; 

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这里的关键部分不是循环通过图形，而是循环通过新添加的边

可以使用不相交集数据结构

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如果我想到无向边的同样问题，我们要寻找的是原始图（由所有边构成）的（MST）。简单的解释是，对于每个边E（v1->v2），如果有从v1到v2的第二条路径，则存在一个循环，并且对于每个现有循环，存在一个我们可以忽略的边

对于查找有向图的MST，您可以使用

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请注意，您正在为所有边指定权重1。

是的，图形中的每条边都是有向边！这是我的错，我应该强调给定的图是有向图，这是一个传递归约问题。我很确定你的意思是“每个客户需求都需要一条连接两个顶点的有向路径”。如果你真的是指“有向边”，那么这个问题很简单，你的示例问题的答案需要所有3条边。实际上，我只想最小化边的数目，并确保可达性不变。传递约简可能不是答案。如果我们有像a->b，a->c，b->d，c->d这样的客户需求，那么传递归约保持所有客户弧，而三个弧a->b，b->c，c->d产生同样多的连通性。如果我们只能建立一些客户所要求的弧，那么我们就不需要传递约简，而是需要一个最小等价子图（如果有循环，则很难找到NP）。

while (num_edges--)
    if root(vertex_a) != root(vertex_b)
    count++
    union(vertex_a,vertex_B)