Arrays 是否有O（n）算法为正整数数组生成无前缀数组？

对于数组[4,3,5,1,2]， 我们称4的前缀为空，小于4的前缀为0； 3的前缀为[4]，小于3的前缀为0，因为前缀中没有一个小于3； 5的前缀是[4,3]，小于5的前缀是2，因为4和3都小于5； 1的前缀为[4,3,5]，小于1的前缀为0，因为前缀中没有一个小于1； 2的前缀为[4,3,5,1]，小于2的前缀为1，因为只有1小于2

对于数组[4,3,5,1,2]，我们得到了[0,0,2,0,1]的无前缀数组，

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我们能得到一个O（n）算法来获得无前缀数组吗？

我认为这应该可行，但要仔细检查细节。让我们将原始数组中的一个元素称为a[i]，将前缀数组中的一个元素称为p[i]，其中i是各个数组的第i个元素

假设我们在a[i]，我们已经计算了p[i]的值。有三种可能的情况。如果a[i]==a[i+1]，那么p[i]==p[i+1]。如果a[i]=p[i]+1。这就留下了a[i]>a[i+1]的情况。在这种情况下，我们知道p[i+1]>=p[i]

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在天真的情况下，我们返回前缀并开始计算小于a[i]的项目。然而，我们可以做得更好。首先，认识到p[i]的最小值是0，最大值是i。接下来看看索引j的情况，其中i>j。如果a[i]>=a[j]，那么p[i]>=p[j]。如果a[i]O（n）中完成，原因与a需要

O（n log n）

比较相同。可能的无前缀数组数为

n因此您至少需要
log2（n！）
位信息来识别正确的无前缀数组
log2（n！）
是
O（n logn）
，由。
假设输入元素始终是固定宽度的整数，您可以使用基于基数排序的技术来实现线性时间：


L是输入数组
X是当前过程焦点中L的索引列表
n是我们目前正在研究的位
Count是当前位置左侧第n位的0位数
Y是用于递归的L的子序列的索引列表
P是一个零初始化数组，它是输出（无前缀数组）

在伪代码中

Def PrefixLess(L, X, n)
    if (n == 0)
       return;

    // setup prefix less for bit n
    Count = 0

    For I in 1 to |X|
        P(I) += Count
        If (L(X(I))[n] == 0)
            Count++;

    // go through subsequence with bit n-1 with bit(n) = 1
    Y = []
    For I in 1 to |X|
        If (L(X(I))[n] == 1)
            Y.append(X(I))

    PrefixLess(L, Y, n-1)

    // go through subsequence on bit n-1 where bit(n) = 0
    Y = []
    For I in 1 to |X|
        If (L(X(I))[n] == 0)
            Y.append(X(I))

    PrefixLess(L, Y, n-1)

    return P

然后执行：

PrefixLess(L, 1..|L|, 32)

我问这个问题是因为我想获得一个O（n）来计算给定数组的反转，即使这个数组是流式的，可能不是。看起来使用无前缀数组可以使我们在O（n）时间内对原始数组进行排序。@n.m.：如何使用无前缀数组在线性时间内对原始数组进行排序？我看到的使用无前缀数组排序的方法是在位置p[I]插入每个元素，但不清楚如何在线性时间内完成。@Nabb：我不确定它是否可以在O（n）中完成，但肯定可以在根本不比较元素的情况下完成。排序是O（nlog（n））*比较。@n.m.-这个参数很有希望，但很棘手，因为它假设1）元素来自一个无限域，2）我们仅有的基本操作是常量分支（比如将一个元素与另一个元素进行比较，如果我们不允许重复，则为2分支，如果允许重复，则为3分支），一次只提供1位信息）。让我们排除bin sort，然后理想情况下你应该把它写下来作为一个答案。在示例a[1]