Coq 如何证明（2^2）%R=4%R

如何在Coq中证明以下内容

Require Import Coq.Reals.Reals.

Definition f (x:R) :R := pow x 2.

Lemma f_2: f 2 = 4%R.
Proof.
Admitted.

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首先需要通过展开函数f来公开其定义：

Require Import Coq.Reals.Reals.  (* "Require Import Reals." would be OK as well. *)
Definition f (x : R) : R := pow x 2.

Lemma f_2 : f 2 = 4%R.
Proof.
unfold f.

然后你会得到：

1 subgoal

  ============================
  (2 ^ 2)%R = 4%R

在公理化领域实现这一目标的一种惯用方法是依靠环战术：

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有关此策略的更多详细信息，请参阅。

方法1：使用强大的策略

环战术足够强大，可以轻松统一2^2和4。你必须展开f，因为它不是一个环形操作

Lemma f_2: f 2 = 4%R.
Proof.
  unfold f.
  ring.
Qed.

方法2：艰难的道路。要查看简单语句f2=4中隐含的所有内容，暂时关闭符号将有所帮助。我还打开了作用域R\u作用域，因此不需要到处都使用%R后缀

我们得到类似于eq f IZR Zpos xO xH IZR Zpos xO xH的东西

IZR是将整数转换为实数的函数。让我们把它和f一起展开

现在我们可以重新打开符号，我们的目标是IPR 2^2=IPR 4。因此，继续展开知识产权。IPR将正整数转换为实数

Lemma f_2: f 2 = 4.
Proof.
  unfold f; cbn.
  change 4 with (2 * 2).
  rewrite Rmult_1_r.
  reflexivity.
Qed.

目标是IPR_2 1^2=IPR_2 2。IPR_2还将正整数转换为实数，但引入了因子2。它基本上是IPR的一个方便功能。把它也打开

最后我们讨论基本常数。目标是R1+R1^2=R1+R1*R1+R1。让我们简化电源。像cbn这样的简化策略之一是可行的。目标变成R1+R1*R1+R1*1=R1+R1*R1+R1。最后，我们可以使用x*1=x。搜索*更好，搜索？x*1=？x，我发现Rmult_1_r是我们想要的。使用重写Rmulti_1_r，然后使用自反性

当然，所有这些展开步骤都是纯计算的，所以我们可以跳到最后，用2*2表示变化4，但4被定义为2*2肯定不是很明显，除非你已经熟悉整数如何转化为实数

Lemma f_2: f 2 = 4.
Proof.
  unfold f; cbn.
  change 4 with (2 * 2).
  rewrite Rmult_1_r.
  reflexivity.
Qed.

Lemma f_2: f 2 = 4.
Proof.
  unfold f; cbn.
  change 4 with (2 * 2).
  rewrite Rmult_1_r.
  reflexivity.
Qed.