Coq 自然数对称性的证明

我是coq的初学者。我想证明自然数上布尔等式的对称性。我已经应用了归纳和析构函数命令，但它不起作用。请指导我证明这个定理

Fixpoint  beqnat(n m : nat): bool:= 
  match n with 
  |0=> match m with
      |0=> true
      |S m' => false
      end 
  |S n'=> match m with
         |0=>false
         |S m'=> beqnat n' m'
         end  
  end. 

  Theorem beq sys:  
    forall(n m:nat), 
      beqnat n m = beqnat m n.

---

证明之后是对

n

的归纳，然后是对

m

的销毁：

Theorem beq_sym: forall n m : nat, beqnat n m = beqnat m n.
Proof.
  induction n as [|n' IH]; destruct m; auto.
  apply IH.
Qed.

要了解正在发生的事情：

执行

归纳法n

，它给出了

n=0

和

n=sn'

的子目标

在每个子目标上执行

siml

，以查看第一个

匹配/与
如何减少

现在，您需要对

m

执行一些操作，以减少第二个

匹配/with

。归纳是不必要的，因为您的

beqnat

在

n

上是结构递归的（键入

Print beqnat

并查找

{struct n}

以确认），而不是

m

。所以，

destructm

就足够了。再次使用

siml

查看原因

第二个子目标中对

beqnat

的递归调用需要归纳假设

---

证明之后是对

n

的归纳，然后是对

m

的销毁：

Theorem beq_sym: forall n m : nat, beqnat n m = beqnat m n.
Proof.
  induction n as [|n' IH]; destruct m; auto.
  apply IH.
Qed.

要了解正在发生的事情：

执行

归纳法n

，它给出了

n=0

和

n=sn'

的子目标

在每个子目标上执行

siml

，以查看第一个

匹配/与
如何减少

现在，您需要对

m

执行一些操作，以减少第二个

匹配/with

。归纳是不必要的，因为您的

beqnat

在

n

上是结构递归的（键入

Print beqnat

并查找

{struct n}

以确认），而不是

m

。所以，

destructm

就足够了。再次使用

siml

查看原因

第二个子目标中对

beqnat

的递归调用需要归纳假设

---

如果你能在上链接到一个可执行的例子，这会有帮助。使用标准库可行吗？或者你想证明这个事实作为练习吗？我想证明它作为练习，因为我已经学习了关于归纳和析构函数命令的一章，这是那一章的练习题。因此，我认为应该用同样的策略来证明。然后，请你添加到目前为止你所掌握的证据并解释你在哪里挣扎，来更新这个问题，好吗？这样我们可以更容易地帮助你。定理beqnatrefl:forall n:，beq_n=true。证明。介绍。诱导n[n IH]。简单。自反性。简单。自反性。Qed。定理等式beq-nat：对于所有n1-n2，n1n=n2->beq-nat n1-n2=true。证明。介绍n1 n2 H.重写H.重写beqnatrefl。自反性。Qed。如果你能链接到一个可执行的示例，这会很有帮助。使用标准库可行吗？或者你想证明这个事实作为练习吗？我想证明它作为练习，因为我已经学习了关于归纳和析构函数命令的一章，这是那一章的练习题。因此，我认为应该用同样的策略来证明。然后，请你添加到目前为止你所掌握的证据并解释你在哪里挣扎，来更新这个问题，好吗？这样我们可以更容易地帮助你。定理beqnatrefl:forall n:，beq_n=true。证明。介绍。诱导n[n IH]。简单。自反性。简单。自反性。Qed。定理等式beq-nat：对于所有n1-n2，n1n=n2->beq-nat n1-n2=true。证明。介绍n1 n2 H.重写H.重写beqnatrefl。自反性。Qed。