Coq 列表唯一性谓词可判定性

我想在Coq中定义一个列表唯一性谓词及其判定函数。我的第一次尝试是：

Section UNIQUE.
  Variable A : Type.
  Variable P : A -> Prop.
  Variable PDec : forall (x : A), {P x} + {~ P x}.


  Definition Unique (xs : list A) := exists! x, In x xs /\ P x.

这里我只指定了谓词

Unique xs

，如果列表

xs

中只有一个值

x

，那么

px

将保持。现在，问题来了。当我试图定义其

唯一性
可判定性时：

  Definition Unique_dec : forall xs, {Unique xs} + {~ Unique xs}.
    induction xs ; unfold Unique in *.
    +
      right ; intro ; unfold unique in * ; simpl in * ; crush.
    +
      destruct IHxs ; destruct (PDec a).
      destruct e as [y [Hiy HPy]].
  ...

我收到了以下严重错误消息：

Error: Case analysis on sort Set is not allowed for inductive definition ex.

我在谷歌上搜索了这条消息，在不同的上下文中看到了几个类似的问题。至少对我来说，这个问题似乎与Coq模式匹配的一些限制有关，对吗

现在问题解决了，我的问题是：

1） 我只想定义一个基于可判定谓词的唯一性测试的可判定性。在标准库中，存在量词和通用量词有类似的测试。两者都可以定义为归纳谓词。有没有办法将“exists unique”定义为列表上的归纳谓词

2） 可以定义这样的谓词，以便它与exists unique的标准逻辑含义相匹配？就像存在一样！x、 px=exists x，px/\forall y，py->x=y？
让我只提供一个部分答案（太大了，无法评论）
如果我们使用允许多个副本的唯一性定义（如Arthur所述），那么
Unique\u dec
意味着类型
A
的可判定性（如@ejgallego所述）

假设我们有

Unique_dec
     : forall (A : Type) (P : A -> Prop),
       (forall x : A, {P x} + {~ P x}) ->
       forall xs : list A, {Unique P xs} + {~ Unique P xs}

我们可以展示以下内容：

Lemma dec_eq A (a b : A) : a = b \/ a <> b.
Proof.
  pose proof (Unique_dec (fun (_ : A) => True) (fun _ => left I) [a;b]) as U.
  unfold Unique in U; destruct U as [u | nu].
  - destruct u as (x & [I _] & U).
    destruct I as [<- | [<- | contra]];
      [specialize (U b) | specialize (U a) |]; firstorder.
  - right; intros ->; apply nu; firstorder.
Qed.

引理A（ab:A）：A=b\/ab。
证明。
姿势证明（独特的（有趣的（：A）=>真实的）（有趣的（=>左I）[A；b]）。
在美国展现独特；将U分解为[U | nu]。
-将u分解为（x&[I\u]&u）。
destructi as[让我只提供一个部分答案（它太大了，无法评论）

如果我们使用允许多个副本的唯一性定义（如Arthur所述），那么
Unique\u dec
意味着类型
A
的可判定性（如@ejgallego所述）

假设我们有

Unique_dec
     : forall (A : Type) (P : A -> Prop),
       (forall x : A, {P x} + {~ P x}) ->
       forall xs : list A, {Unique P xs} + {~ Unique P xs}

我们可以展示以下内容：

Lemma dec_eq A (a b : A) : a = b \/ a <> b.
Proof.
  pose proof (Unique_dec (fun (_ : A) => True) (fun _ => left I) [a;b]) as U.
  unfold Unique in U; destruct U as [u | nu].
  - destruct u as (x & [I _] & U).
    destruct I as [<- | [<- | contra]];
      [specialize (U b) | specialize (U a) |]; firstorder.
  - right; intros ->; apply nu; firstorder.
Qed.

引理A（ab:A）：A=b\/ab。
证明。
姿势证明（独特的（有趣的（：A）=>真实的）（有趣的（=>左I）[A；b]）。
在U中展开唯一；将U分解为[U | nu]。
-将u分解为（x&[I\u]&u）。
析构函数I作为[你遇到的是，你不能在
ex
上进行模式匹配（
和
的底层归纳都存在！
），以便产生一个类型为sumbool的值（类型为
{u}+{u}
符号），这是一个类型，而不是一个属性。“讨厌的错误消息”这对解决这个问题没有太大帮助；请参阅以获取建议的解决方案

为了避免这个问题，我认为您应该证明一个更强大的Unique版本，它可以生成类型（a
sig
）而不是Prop:

Definition Unique (xs : list A) := exists! x, In x xs /\ P x.
Definition UniqueT (xs : list A) := {x | unique (fun x => In x xs /\ P x) x}.

Theorem UniqueT_to_Unique : forall xs,
    UniqueT xs -> Unique xs.
Proof.
  unfold UniqueT, Unique; intros.
  destruct X as [x H].
  exists x; eauto.
Qed.

然后，您可以在类型中证明此定义的可判定性，并从中证明您的原始语句（如果需要）：

Definition UniqueT_dec : forall xs, UniqueT xs + (UniqueT xs -> False).

正如安东在回答中所提到的，这个证明需要
A
的可判定等式，也就是
forall（xy:A），{x=y}+{xy}
你遇到的是你不能在
ex
上进行模式匹配（
和
的基本归纳都存在）
）为了产生一个类型为sumbool的值（表示
{{{}+{{{}
符号的类型），它是一个类型，而不是一个道具。“严重错误消息”对解决这个问题没有太大帮助；请参阅以获取建议的修复方法

为了避免这个问题，我认为您应该证明一个更强大的Unique版本，它可以生成类型（a
sig
）而不是Prop:

Definition Unique (xs : list A) := exists! x, In x xs /\ P x.
Definition UniqueT (xs : list A) := {x | unique (fun x => In x xs /\ P x) x}.

Theorem UniqueT_to_Unique : forall xs,
    UniqueT xs -> Unique xs.
Proof.
  unfold UniqueT, Unique; intros.
  destruct X as [x H].
  exists x; eauto.
Qed.

然后，您可以在类型中证明此定义的可判定性，并从中证明您的原始语句（如果需要）：

Definition UniqueT_dec : forall xs, UniqueT xs + (UniqueT xs -> False).

正如安东在回答中提到的，这个证明将要求
A
的可判定等式，也就是
forall（xy:A），{x=y}+{xy}
我认为，为了获取谓词的！位，您还需要要求等式的决定性。在实践中，我更喜欢避免
在
中，并使用math comp的
seq
库，其中
固定点uniq s:=如果s是x:：s'，那么（x\notin s'）&&uniq s'else true。
注意，列表上唯一性谓词有两个合理的定义。除了您给出的定义外，还有一个更强大的变体，要求
x
恰好出现在列表的一个位置
xs
。您可以从Arthur的注释中归纳出更强的定义，如下所示：<代码>归纳唯一：列出A->Prop:=| Unique_base_case:forall x xs，px->forall（fun y=>~py）xs->Unique（x:：xs）| Unique_inclusive_case:forall x xs，~px->Unique xs->Unique（x:：xs）。
对于您给出的较弱版本，可能会将基本情况更改为：
forall x xs，px->（fun y=>py->y=x）xs->Unique（x:：xs）
。我不明白更强大的版本捕捉到了什么。在我的脑海中，我只看到了一个唯一的
uniq
定义[对于可判定的eqtypes就是]我认为，为了捕获谓词的！位，您还需要要求等式的决定性。实际上，我更喜欢避免使用math comp中的
seq
库，其中
Fixpoint uniq s:=如果s是x:：s'，那么（x\notin s'）&&uniq s'else true。
注意，列表上唯一性谓词有两个合理的定义。除了您给出的定义外，还有一个更强大的变体，要求
x
恰好出现在列表的一个位置
xs
。您可以从Arthur的注释中归纳出更强的定义，如下所示：<代码>归纳唯一：列表A->Prop:=|唯一|基本|案例：forall x xs，px->forall（fun y=>~py）xs->唯一（x:：xs）|唯一|