Coq 使用等式的路径诱导

根据（第49页），这是平等的完全归纳原则：

Definition path_induction (A : Type) (C : forall x y : A, (x = y) -> Type)
           (c : forall x : A, C x x eq_refl) (x y : A) (prEq : x = y)
  : C x y prEq :=
  match prEq with
  | eq_refl => c x
  end.

我对HoTT了解不多，但我确实看到路径归纳比等式更强：

Lemma path_ind_stronger : forall (A : Type) (x y : A) (P : A -> Type)
                            (prX : P x) (prEq : x = y),
    eq_rect x P prX y prEq =
    path_induction A (fun x y pr => P x -> P y) (fun x pr => pr) x y prEq prX.
Proof.
  intros. destruct prEq. reflexivity.
Qed.

相反，我未能从

eq\u rect

构建

path\u归纳

。可能吗？如果不是，那么什么是平等的正确归纳原则？我认为这些原则是机械地从

归纳的
类型定义中派生出来的

编辑

由于下面的答案，关于平等的完全归纳原则可以由

Scheme eq_rect_full := Induction for eq Sort Prop.

然后我们得到相反的结果

Lemma eq_rect_full_works : forall (A : Type) (C : forall x y : A, (x = y) -> Prop)
                             (c : forall x : A, C x x eq_refl) (x y : A)
                             (prEq : x = y),
    path_induction A C c x y prEq
    = eq_rect_full A x (fun y => C x y) (c x) y prEq.
Proof.
  intros. destruct prEq. reflexivity.
Qed.

我想你指的是这样一个事实，
path\u inclution
的结果类型提到了正在被破坏的路径，而
eq\u rect
的结果类型没有提到。这种省略是归纳命题的默认情况（与
类型
相反），因为额外的参数通常不用于与证明无关的开发。然而，您可以指示Coq使用
Scheme
命令生成更完整的归纳原则：。（默认情况下，
最小值
变量用于命题。）