C++ 表示小于1的最大浮点量

我在做一些四舍五入的计算，偶然发现了一个问题。对于给定的浮点类型，如何表示小于1的最大数量

也就是说，我如何写入/表示值

x

，使得

x<1，x+y>=1

对于任何

y>0

在分数中，这将是

x=（q-1）/q

，其中

q

是类型的精度。例如，如果您以

1/999

增量计数，则

x=998/999

对于给定类型（浮点、双精度、长双精度），如何在代码中表示值

x

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我还想知道

y

的所有值是否都存在这样的值。也就是说，随着

y的

指数变小，可能关系不再成立。因此，在

y

上有一定范围限制的答案也是可以接受的。（我想要的

x

的值仍然存在，该关系可能无法正确地表达它。）

有一种方法可以获取添加到1会产生大于1的最小可表达量的最低数量。这是

std:：numeric\u limits:：epsilon（）

。如果你证明这个数量等于你搜索的数量，那就是你想要的：

模板静态\u Tp std:：numeric\u limits<\u Tp>：：epsilon（）throw（）[内联，静态] 机器ε：1与可表示的大于1的最小值之间的差值

---

C99定义了

nextafter（）

函数。像这样使用它

#include <math.h>
double under_one = nextafter(1, 0);

#包括
双下一个=下一个（1，0）；

尽管其他人认为小于

1

的较大值是

1-FLT\u EPSILON

，但在浮点运算中，对于任何

y>0

，它都不能满足条件

x<1，x+y>=1

，除非使用四舍五入

---

原因是1和它之前的距离（即

FLT_EPSILON

~1.2E-7）远大于最小可表示正数

FLT_MIN

，即~1.2E-38。因此，存在一类数字（

FLT\u MIN…FLT\u EPSILON/2

当四舍五入到最近值时，这是大多数系统的默认值），其

（1-FLT\u EPSILON）+y==（1-FLT\u EPSILON）<1

IEEE 754浮点表示法具有这样一个特性：对于正数而非

NaN

的数字，其顺序与视为整数的位模式的顺序相同

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因此，您可以将浮点数1.0的位模式重新解释为整数，减小该整数，然后再次将其解释为浮点数，以使浮点数刚好低于1。

根据IEEE 754标准，单精度（32位）1.0的表示形式为0x3F800000。我们可以将其以二进制形式写成0 01111111（1）00000000000000000000000，这意味着：

sign = 0
biased exponent = 01111111 = 0x7F, so exponent = -23 (decimal)
mantissa = 0x800000 (the (1) in parentheses is the implied msb)

因此该值为0x800000*2^-23，即1.0。下一个最低的单精度数字是

0 01111110 (1)11111111111111111111111

或者0x3F7FFFFF，或者0xFFFFFF*2^-24，大约为0.999999 4。

函数

nextafter（）

运行良好

#包括
//从1.0到0.0查找下一个double
前两倍=后一倍（1.0,0.0）；

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然而，要以编译时的值这样做，正如作者以一种高度可移植的方式所评论的：

#include <float.h>
double before_1 = 1.0 - DBL_EPSILON/FLT_RADIX;

#包括
前双精度=1.0-DBL\uε/FLT\u基数；

DBL_EPSILON

是1.0和下一个更大的

double

之间的绝对差值

---

FLT_RADIX

是浮点系统的基数。通常是2。使用了16和10之类的值。

您是否在寻找某种公式？常数？找到它的算法？最好是一个常数，但也可以接受一个函数netlib@Chris

1

是用二进制精确表示的，所以像我写的那样使用它将给您提供最大可能的“小于1”的双值是的，这似乎正是我想要的。有没有办法把这个值表示成常数？也就是说，如果我想用它作为默认参数？如果我们假设epsilon朝向0.0比朝向2.0精细两倍，我们可以使用FLT_epsilon常量，除以2。@Chris:1不是1的实现是无法超越所有可用性的。C可能允许这样的中断，但除非您假设自己是理智的，否则编写任何浮点代码都毫无意义。就我个人而言，我总是假设IEEE 754语义和表示。是否保证

1-epsilon+epsilon==1

？答案可能是“否”。我尝试使用nextafter（）函数，试图得到从1.0到0.0再到2.0的ε-结果是不同的。Epsilon Toward 2.0正好是Toward 0.0的两倍-可能是因为后者使用非规范化数字表示，该数字的精度多了1位。对于二进制浮点，1-Epsilon将太大。例如，使用3位二进制数字的FP格式：1.00之后的下一个数字是1.01，因此epsilon是0.01，而1.00之前的数字是0.111。@edA:C对浮点结果没有任何保证。IEEE 754当然保证了这一点，因为所有涉及的值都是精确的。这也是很好的了解。它解决了我对这个数字是否可能的担忧。这难道不意味着从1.0到0.0的ε是FLT_ε/2吗？我不确定这是真的，但似乎是真的。我可能在细节上错了。范围可以是FLT_MIN…FLT_EPSILON/4，而不是/2，因为它是实际EPSILON的一半，但它是存在的。好吧，IEEE-754表示法意味着隐藏的MSB始终等于1（除非它是非规范数）。因此，低于1.0的最高数量将表示为所有一（1）尾数和（-1）指数。该数字的MSB将是一个隐含的（1），因此尾数实际上会多接收一位。这就是为什么朝向0.0的ε比朝向2.0的ε细2倍。

#include <float.h>
double before_1 = 1.0 - DBL_EPSILON/FLT_RADIX;