Data structures BFS的时间复杂度取决于图的表示形式？

我想知道BFS的时间复杂度是多少，如果我使用：

• 邻接矩阵
• 邻接表
• 边缘列表

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它与它们的空间复杂度相同吗？

时间复杂度必然取决于表示

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这表明，具有和邻接列表的时间复杂度为O（V+E），具有邻接矩阵的时间复杂度为O（V2）。

使用邻接矩阵实现的BFS的复杂度将为

O（| V |²）

。当通过邻接列表实现时，是

O（|V|+|E|）

为什么它更多的是在邻接矩阵的情况下

这主要是因为每次我们想要找到与给定顶点“U”相邻的边时，我们都必须遍历整个数组

邻接矩阵[U]

，这当然是长度

|V |

想象一下BFS作为前沿的发展。获取一个起始顶点

S

，该顶点位于级别

0

。与

S

相邻的所有顶点将位于级别

1

。然后，我们将级别1上没有级别的所有顶点的所有相邻顶点标记为级别

2

。因此，每个顶点将只属于一个边界。每一个边界对应不同的层次。当一个元素在边界中时，我们检查一次它的相邻顶点，这需要

O（| V |）

时间。由于边界在算法过程中覆盖了

| V |

元素，因此总时间将变成

O（| V |*| V |）

，也就是

O（| V | |）

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当通过邻接列表和矩阵实现时，BFS的复杂度差异是由于在邻接矩阵中，为了确定哪些节点与给定顶点相邻，我们采用

O（| V |）

时间，而不考虑边的数量。然而，在邻接列表中，我们可以立即使用的边，因此它所需的时间与相邻顶点的数量成比例，所有顶点的总和| V |是| E |。因此，BFS按邻接列表给出O（|V |+|E |）。

首先让我们看看时间复杂性。如果邻接矩阵可以存储为，那么空间复杂度将是相同的。稀疏矩阵本质上只存储邻接矩阵的非零值，因此具有与邻接列表表示相同的空间复杂度，即O（| V |+| e |）

现在来谈谈时间复杂性。执行BFS搜索的一种方法是简单地使用稀疏邻接矩阵，就像通常使用邻接列表表示一样，即O（| V |+| e |）

对邻接矩阵执行BFS的另一种方法是通过重复应用Y=gx使用稀疏矩阵向量乘法，其中G是稀疏邻接矩阵，X是边界上有1s的稀疏向量。此操作基本上是G列的组合。如果实现此操作时，每次乘法所需的时间与G列中访问的数据大小和向量X中的非零数成比例，则时间复杂度也将为O（| V |+| E |）。这种方法的一个优点是，通过用表示多个BFS搜索边界的稀疏矩阵替换X，可以直接将其扩展到多个BFS搜索。关于使用稀疏矩阵的图算法的实现，可以在本文中看到更多细节

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边列表通常不用于BFS，因为查找顶点的邻域代价很高。

不同图形表示的时间复杂性：

1。边缘列表：

边列表由列表中的所有边组成。为了进行BFS，时间复杂度为

O（E^2）

。因为对于每个边

u->v

，您必须遍历整个边列表，找到源顶点为

u

的边并进行探索，然后探索

u->v

中的顶点“v”进行BFS

其中

E

是边数

如果根据源索引和目标索引对边进行排序，则排序列表将按BFS顺序排列。只要遍历列表，你就会得到BFS

对边缘列表排序的时间复杂度为

O（E*log（E））

2。邻接列表

邻接是关键点的映射，其中每个顶点都是关键点，并指向从该关键点顶点或与其相邻的顶点列表

为了执行BFS，将任何顶点放入队列并使其成为已访问顶点，弹出队列[0]，选择起始顶点，探索其所有相邻顶点，使其成为已访问顶点并将其放入队列，同样地弹出队列[0]，并探索所有未访问顶点，直到队列变空。对于每个顶点，仅遍历其相邻的未访问顶点（除边外无其他）

因此，时间复杂度是

O（V+E）

3。矩阵

在矩阵表示法中，对于每个顶点，必须遍历所有顶点并检查是否存在未访问的顶点。因为，对于每个顶点，我们都要遍历所有的顶点

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时间复杂度是O（V^2）

，但我们不能在每个列表中有| V |-1个邻接项，这样它就会变成O（| V | ^2）？是的，它确实变成了O（| V | ^2），但这只是写O（| V |+| E |）的另一种方式。。。怎样。。？？当每个顶点有| V |-1个相邻顶点时，你的| E |在O（| V | ^2）。。。。所以在这种情况下，术语O（|V |+| E |）变成，O（|V |+| V | ^2）。。。也就是O（| V |^2）。：）