Floating point IEEE754 FP32/64标准错误

我的课本上有一个练习，上面写着：

给定IEEE754 FP32/64标准，请指出错误类型 （绝对的或相对的）保持不变的 答案可能是一个公式）

公式是：

恒定相对误差：

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我发现很难理解这个练习在说什么。绝对误差不是保持不变的误差类型吗？有人能给我澄清一下吗

这是一个糟糕的问题，有几个原因，但作者可能希望相对错误

对于任何固定的输入和操作，结果都是固定的，因此，任何误差度量都是固定的。只有在变化的情况下问什么是恒定的才有意义。因此，问题应该是什么变化。我们可以假定它们意味着输入不同

它还应该说明相对误差是相对于什么测量的。对于单个操作，通常相对于理想的数学结果来测量误差。（当存在一系列运算时，误差会受到中间结果的影响，我们有时会对这些影响感兴趣。我们将假设作者有意将误差与理想的数学结果相关联。）

当输入变化时，绝对误差和相对误差都不是完全恒定的。它们受到浮点表示中的伪影的影响，因此它们的波动方式类似于向计算中添加随机噪声。当考虑产生类似量级结果的许多输入时，误差随½ULP（最小精度单位）的范围而变化（假设四舍五入到最近值）。它上下跳动，又有点像噪音。当输出通过浮点表示中的指数边界时，波动按比例增大或减小

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这是作者认为是“常数”的比例。粗略地说，相对误差保持在相对于理想数学结果大小的常数范围内。事实上，它们并不是常数，但在一个邻域中误差有一个很好的界，相对于幅度是常数（直到我们达到浮点格式支持的幅度上限或下限）。相比之下，绝对误差的类似界限不是常数；它随着结果的增长而增长。

这肯定是个糟糕的问题。一旦进入次正常操作数，相对误差的大小可能会非常大。在这里，1 ulp的微小差异可能代表50%的相对误差。@njuffa如果在另一个方向上超出指数的界限，情况会更糟。。。