Functional programming 关于Lambda演算中布尔函数的质疑

这是AND运算符的lambda演算表示：

lambda(m).lambda(n).lambda (a).lambda (b). m(n a b) b

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有谁能帮我理解这个表示法吗？

实际上，它不仅仅是AND运算符。这是lambda演算版本的

如果m和n，那么a和b

。解释如下：

在lambda演算中，true表示为一个函数，它接受两个参数*并返回第一个参数。False表示为接受两个参数*并返回第二个参数的函数

上面显示的函数包含四个参数*。从表面上看，m和n应该是布尔值，a和b应该是其他值。如果m为true，它将计算到它的第一个参数，即

nab

。如果n为真，则依次计算为a，如果n为假，则计算为b。如果m为false，它将计算到第二个参数b

所以基本上，如果m和n都为真，函数返回a，否则返回b

（*）其中“接受两个参数”表示“接受一个参数并返回接受另一个参数的函数”

根据您的评论进行编辑：

wiki页面上显示的

和true-false

的工作原理如下：

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第一步是简单地用其定义替换每个标识符，即

（λm.λn.m n m）（λa.λb.a）（λa.λb.b）

。现在应用函数

（λm.λn.m n m）

。这意味着

mnm

中m的每一次出现都被第一个参数（

（λa.λb.a）

）替换，而n的每一次出现都被第二个参数（

（λa.λb.b）

）替换。所以我们得到

（λa.λb.a）（λa.λb.b）（λa.λb.a）

。现在我们只需应用函数

（λa.λb.a）

。由于此函数的主体是简单的a，即第一个参数，其计算结果为

（λa.λb.b）

，即

false

（如

λx.λy.y

表示

false

）。

要理解如何在lambda演算中表示布尔值，思考IF表达式“IF a then b else c”会有所帮助。这是一个表达式，它选择第一个分支b（如果为真），第二个分支c（如果为假）。Lambda表达式可以很容易地做到这一点：

lambda(x).lambda(y).x

将给出它的第一个论点，并且

lambda(x).lambda(y).y

给你第二个。如果a是这些表达式之一，那么

a b c

给出

b

或

c

，这正是我们希望IF执行的操作。所以定义

 true = lambda(x).lambda(y).x
false = lambda(x).lambda(y).y

而

abc

的行为将类似于

如果a那么b else c

查看表达式内部的

（n a b）

，这意味着

如果n那么a else b

。 然后

m（na b）b

表示

if m then (if n then a else b) else b

如果

m

和

n

均为

true

，则此表达式计算为

a

，否则计算为

b

。由于

a

是函数的第一个参数，

b

是第二个参数，

true

被定义为给出两个参数中第一个参数的函数，那么如果

m

和

n

都是

true

，那么整个表达式也是如此。否则为

false

。这就是

和
的定义

所有这些都是阿隆佐·丘奇发明的，他发明了lambda演算。
在lambda演算中，布尔值由一个函数表示，该函数有两个参数，一个参数表示成功，一个参数表示失败。这些参数称为continuations，因为它们将继续进行其余的计算；布尔值True调用成功延续，布尔值False调用失败延续。这种编码称为Church编码，其思想是布尔值非常类似于“if-then-else函数”

所以我们可以说

true  = \s.\f.s
false = \s.\f.f

其中，
s
代表成功，
f
代表失败，反斜杠是ASCII lambda

现在我希望你能看到这一切的进展。我们如何编码
和
？在C语言中，我们可以把它扩展到

n && m = n ? m : false

只有这些是函数，所以

(n && m) s f = (n ? m : false) s f = n ? (m s f) : (false s f) = n ? (m s f) : f

但是，当在lambda演算中编码时，三元结构只是函数应用，所以我们有

(n && m) s f = (n m false) s f = n (m s f) (false s f) = n (m s f) f

所以我们终于到了

&& = \n . \m . \s . \f . n (m s f) f

如果我们将成功和失败的延续重命名为
a
和
b
，我们将返回到您原来的状态

&& = \n . \m . \a . \b . n (m a b) b

与lambda演算中的其他计算一样，特别是在使用Church编码时，通常更容易用代数定律和等式推理解决问题，然后在最后转换为lambda。
非常感谢！！！我发现Lambda微积分真的很难理解，这样的解释让我的生活轻松多了！！再次感谢。@Peter:如果可以的话，还需要另一个帮助：我正在维基百科上阅读教堂的布尔语：我无法理解这些例子是如何推断的，即是真是假。你能帮我理解它们吗？理解这些长表达式的方法就是记住规则，从左到右一步一步地计算它们。因此在表达式
（λm.λn.m n.m）（λa.λb.a）（λa.λb.b）
中，括号中的第一部分是函数，第二和第三部分被m和n替换：
（λa.λb.a）（λa.λb.b）（λa.λb.a）
。然后再做同样的事情，记住每个括号中的a和b是完全独立的。第一部分，
（λa.λb.a）
，返回其两个参数中的第一个。因此它返回
（λa.λb.b）
，这是false.Great Peter的教堂代表！！！非常感谢你。你在学校里学过Lambda微积分吗？或者你读过任何文档来达到这种理解水平吗？另外，我还有一个问题：（lambda（a）（lambda（b）（lambda（c）c）b）），在这种情况下，（lambda（c）c）“的外部‘c’是自由变量还是有界变量？我想我第一次看到lambda是在一本关于Lisp的书中，然后是一本关于指称语义的书中。我不记得是从哪里来的布尔人，但我确实玩得很开心