Functional programming Coq：用归纳法证明两个阶乘函数的相等性

我想用归纳法证明两个阶乘函数在Coq中是等价的

基本情况

n=0

很简单，但归纳情况更复杂。我明白了，如果我能把

（访问fac\u v2 n'（n*a））

改写成

n*（访问fac\u v2 n'a）

，我就完了。然而，把这个想法翻译成Coq会给我带来麻烦

如何在Coq中证明这一点

定点fac_v1（n:nat）：nat:=
匹配
| 0 => 1
|sn'=>n*（fac_v1 n'）
结束。
固定点访问（n a:nat）：nat:=
匹配
|0=>a
|sn'=>访问工厂v2 n'（n*a）
结束。
定义fac_v2（n:nat）：nat:=
访问工厂1号。
_fac_v1_和_fac_v2的命题等价性：
福尔n：纳特，
fac_v1 n=fac_v2 n。
证明。
中止

在归纳案例中，您可以应用归纳假设并将目标简化为：

visit_fac_v2 n 1+n*visit_fac_v2 n 1=visit_fac_v2 n（S n）

为了证明这一点，可以使用以下引理：

引理访问\u fac\u v2\u摘录：
答：纳特，
访问工厂v2 n a=a*访问工厂v2 n 1。

当证明直接式函数及其基于累加器的等价函数相等时，通常要做的一件事是声明一个更强的不变量，该不变量对于累加器可能持有的任何值都应该为真

然后，您可以将其专门化为调用函数的值，从而获得您感兴趣的语句，作为更一般的语句的推论

这里的一般声明如下：

Theorem general_equivalence_of_fac_v1_and_fac_v2 :
  forall n a : nat,
    a * fac_v1 n = visit_fac_v2 n a.

它的证明相当简单（你必须小心，确保

归纳法

在

导言a

之前，因为你希望归纳法假设对任何

a

都有效）：

证明。
介绍n；诱导n；介绍a。
-单纯形；铃声。
-单纯形；重写什么是“简单”和“戒指”？战术
simpl
在目标中计算，并
ring
求解环上的等式。是否可以仅使用“重写”和“应用”重新布线校样？更精确一点：
ring
也求解环上的等式，这是nat

的一个实例。要使用

环

策略，我们需要

要求导入算术。

或

要求导入算术。

，因为后者导出前者。@Shuzheng当然：不用

环

证明等式，你可以重写或应用引理说明

（*）

的属性（例如，

apply PeanoNat.Nat.mul_1_r

可以代替第一次呼叫

ring

）。这只会有点烦人。

Proof.
intros n; induction n; intro a.
 - simpl ; ring.
 - simpl ; rewrite <- IHn ; ring.
Qed.