Haskell 隐式提升的正确性

假设我有一个在monad上通用的值：

m :: (Monad m) => m A  -- 'A' is some concrete type

现在让我们假设我以两种不同的方式将此值专门化为一个具体的monad transformer堆栈：

m1 :: T M A
m1 = m

m2 :: T M A
m2 = lift m

。。。其中

M

和

tm

是单子，而

T

是单子转换器：

instance Monad M where ...
instance (Monad m) => Monad (T m) where ...
instance MonadTrans T where ...

。。。这些实例遵循单子定律和单子变换定律

我们能否推断：

m1 = m2

。。。除了它的类型之外，对

m

一无所知

这只是一种冗长的方式，询问

lift m

是否是

m

的有效替代品，假设两种类型都进行了检查。这个问题的措辞有点困难，因为它需要在替换前后将

m

类型检查作为两个单独的单子。据我所知，这种替换进行类型检查的唯一方法是如果

m

在monad上是泛型的

---

我模糊的直觉是，替换应该总是正确的，但我不确定我的直觉是否正确，或者如何证明它是否正确。

如果

m:：Monad m=>ma

，那么

m

对于某些

x:：A

，必须等价于

返回x

，因为获得任何东西的唯一方法是：mx返回

和
（>>=）
。但是为了使用
（>>=）
，您必须能够生成一些
my
，您可以使用
返回
，或者使用
（>=）
的另一个应用程序。无论哪种方法，最终都必须使用
return
，monad定律保证整个表达式将等价于
returnx

（如果
m
在monad上是完全多态的，那么您必须能够在
m~Identity
上使用它，因此它不能使用任何奇特的monad技巧，除非您向它传递一个参数。使用这种技巧，例如和。）

考虑到
m=return x
，我们通过monad变压器定律（
lift.return=return
）知道
lift m=m

当然，这只适用于这种特殊类型。例如，如果您有
m:：MonadState S m=>ma
，那么
m
很容易与
lift m
不同——例如，对于类似
StateT A（State A）A
的类型，
get
和
lift get
将不同

（当然，所有这些都被忽略了⊥. 再说一次，如果你不遵守，大多数单子无论如何都不遵守法律。）
我认为这是一个草率的说法，你的
m
等同于
lift m

我认为我们必须尝试证明关于
m
（或者更确切地说，关于
（Monad m）=>ma
类型的所有可能值）的一些东西。如果我们认为<代码> Monad <代码>仅由绑定和返回组成，而忽略底部和<代码>失败<代码>，那么您的<代码> m <代码>必须在顶层是：

mA = return (x)
mB = (mX >>= f)

对于
mA
而言，
m
的两种形式根据monad变压器定律是等效的：

lift (return (x)) = return (x)

这是基本情况。然后我们剩下第二个变压器定律来解释
mB
：

lift (mX >>= f) = lift mX >>= (lift . f)

我们想证明我们的
mB
等于这个扩展：

mX >>= f = lift mX >>= (lift . f)

我们假设bind的左侧是等价的（
mX=liftmx
），因为这是我们的归纳假设（右？）

那么我们剩下来证明
f=lift。f
通过计算f

的外观：

f :: a -> m b
f = \a -> (one of our forms mA or mB)

和

lift。f

看起来像：

f = \a -> lift (one of our forms mA or mB)

这让我们回到了我们的假设：

m = lift m

---

这是“参数证明”，可以用形式表示。你的论点很好。当然，这只是一个草图。顺便说一下，我应该注意到我忽略了

fail

。在出现

fail

的情况下，

m

和

lift m

的行为可能会有所不同。（并不是说有任何

fail

法则，就其本身而言……但是对于

mtl

中的实际monad变压器，您可以做一个反例。）我特别感兴趣的是对参数治疗的解释，原因是我脑子里有一个关于管道的更复杂的问题。如果你或@PhilipJF解释说我会接受这个答案，@GabrielGonzalez shachaf以30秒的优势击败了我，那么你对我的答案有何反应？我也很想看到更有经验的人构造一个证明，或者回应我的尝试，这样我就可以从所有这些中学到一些东西too@jberryman你的答案和我的非常相似，这就是为什么我投了赞成票，但我想找一些真正优雅和一般的东西，因为我想把这条推理路线推广到管道上。