Haskell 结合状态单子和共状态单子

如何将状态monad

S->（A，S）

与共状态monad

（E->A，E）

相结合

---

我尝试了两种明显的组合

S->（（E->A，E），S）

和

（E->S->（A，S），E）

，但在这两种情况下，我都不知道如何定义操作（

返回

，

提取

，…等等）对于组合。

如果

O

或

I

两个单子同时指向，即使用

提取方法，则组合两个单子
O
和
I
将产生一个单子。每个科摩纳德都是共同点。如果
O
和I`都是共点的，那么您有两种不同的“自然”方法来获得单子，这两种方法可能是不等价的

你有：

unit_O :: a -> O a
join_O :: O (O a) -> O a
unit_I :: a -> I a
join_I :: I (I a) -> I a

在这里，我添加了
\u O
和
\u I
后缀，以清晰明了；在实际的Haskell代码中，它们不会出现，因为类型检查器会自己解决这个问题

您的目标是显示
O（io（ia））
是单子。让我们假设
O
是共点的，即有一个函数
extract\u O:：O a->a

然后我们有：

unit :: a -> O (I a)
unit = unit_O . unit_I
join :: O (I (O (I a))) -> O (I a)

当然，问题在于实现
join
。我们遵循这一战略：


fmap
在外部
O
使用
extract\u O
获得内部
O
使用
join_I
组合两个
I
monad

这让我们想到

join = fmap_O $ join_I . fmap_I extract

要使其工作，还需要定义

newtype MCompose O I a = MCompose O (I a)

并将相应的类型构造函数和解构器添加到上述定义中

另一种选择是使用
extract\u I
而不是
extract\u O
。这个版本更简单：

join = join_O . fmap_O extract_I

这定义了一个新的单子。我假设你可以用同样的方式定义一个新的comonad，但我没有尝试过。正如另一个答案所示，这两个组合
S->（（E->a，E），S）
和
（E->S->（a，S），E）
同时拥有Monad和Comonad实例。事实上，给出Monad/Comonad实例是
相当于给出一个
拟幺半群结构。其要点∀r、 r->f（r）或其同点∀r、 f（r）->r，至少在经典中，
非建设性的感觉（我不知道建设性的答案）。这一事实表明，实际上
函子f很有可能
如果它的点和余点是非平凡的，则它可以是单子和余子

然而，真正的问题是这样构造的Monad/Comonad实例是否具有自然属性
计算/范畴意义。在这种情况下，我会说“不”，因为你似乎没有
关于如何以适合您计算需要的方式组合它们的先验知识

合成两个（共）单体的标准分类方法是通过附加。让我总结一下你的情况：

      Fₑ         Fₛ
      -->       -->
Hask  ⊣   Hask  ⊣ Hask
      <--       <--
      Gₑ         Gₛ

Fₜ(a) = (a,t)
Gₜ(a) = (t->a)

现在您可以看到状态monad（s->（a，s））≃ （s->a，s->s）是G的组成部分ₛFₛ 还有costate comonad
是F吗ₑGₑ. 这个附加说明说Hask可以被解释为（co）状态（co）代数的模型

现在，“附属品构成”例如

FₛFₑ(x) -> y ≃
Fₑ(x)   -> Gₛ(y) ≃
x       -> GₑGₛ(y)

所以FₛFₑ ⊣ GₑGₛ. 这就产生了一对单子和一对单子，即

T(a) = GₑGₛFₛFₑ(a)
     = GₑGₛFₛ(a,e)
     = GₑGₛ(a,e,s)
     = Gₑ(s->(a,e,s))
     = e->s->(a,e,s)
     = ((e,s)->a, (e,s)->(e,s))

G(a) = FₛFₑGₑGₛ(a)
     = FₛFₑGₑ(s->a)
     = FₛFₑ(e->s->a)
     = Fₛ(e->s->a,e)
     = (e->s->a,e,s)
     = ((e,s)->a, (e,s))

T是简单的状态单子和状态（e，s），G是共价态和共价态（e，s），所以
这些确实有非常自然的含义

撰写附加语是一种自然、频繁的数学运算。例如，一个几何态射
topoi（一种在“类型级别”上允许复杂（非自由）结构的笛卡尔闭范畴）被定义为一对附加，只要求其左伴随是左精确的（即保留有限极限）。如果这些拓扑是拓扑空间上的滑轮，
组成附加语仅仅对应于组成（唯一的）连续的基本变化图（在相反的方向），具有非常自然的意义

另一方面，在数学中，直接编写单子/单子似乎是一种非常罕见的实践。
这是因为通常（co）单子被认为是（co）代数理论的载体，而不是一个单子
模型在这种解释中，相应的附加语是模型，而不是单子。问题
组成两种理论需要另一种理论，一种关于如何组成它们的理论。例如
想象一下组成两个幺半群理论。那么你可能会得到至少两个新的理论，
即列表的列表理论，或两种二进制运算分布的环形代数。
两者都不比另一个更自然。这就是“单子不作曲”的意思；这并不是说构图不能是单子，而是说你需要另一种理论来构图

相比之下，撰写附加语自然会产生另一个附加语，因为这样做你就是一个附加语
隐含性指定了构成两个给定理论的规则。因此，通过使用复合附加语的单子，你得到了一个理论，它也规定了复合规则。
你的意思是这应该是单子和复合词？对我来说似乎有点乐观，认为这应该是可能的…没有特别的理由相信（a）单子的成分是单子，（b）科摩纳的成分是科摩纳的，或者（c）任何类型都是单子和科摩纳的（注意，身份是，注意这是多么极端）。因此，期望单子和辅音的组合是单子或辅音，更不用说两者都是非常冒险的。“分配定律将适用于状态共状态与共状态相同的情况，不幸的是，这既不正确也没有帮助。@Bob，在不同的上下文中使用它们，因为它们都有什么好处？”？你的问题听起来像“即使我不能将它们结合起来，我如何编写一个同时使用
Bool
和
Int
的函数程序？”当你谈到单子和复数之间的分配规律时，你会问
T(a) = GₑGₛFₛFₑ(a)
     = GₑGₛFₛ(a,e)
     = GₑGₛ(a,e,s)
     = Gₑ(s->(a,e,s))
     = e->s->(a,e,s)
     = ((e,s)->a, (e,s)->(e,s))

G(a) = FₛFₑGₑGₛ(a)
     = FₛFₑGₑ(s->a)
     = FₛFₑ(e->s->a)
     = Fₛ(e->s->a,e)
     = (e->s->a,e,s)
     = ((e,s)->a, (e,s))