Image processing 为什么基本矩阵有7个自由度？

基本矩阵中有9个参数用于关联左右图像的像素坐标，但只有7个自由度（DOF）

在我搜索过的几页中，其原因是：

齐次方程意味着我们失去了一定的自由度

F=0的行列式，因此我们失去了另一个自由度

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我不明白为什么这两个原因意味着我们失去了2个自由度——有人能解释吗？

我们最初有9个自由度，因为基本矩阵由9个参数组成，这意味着我们需要9个对应点来计算基本矩阵（F）。但由于以下两个原因，我们只需要7个对应点

理由1 由于使用齐次坐标，我们失去了1个自由度。这基本上是一种通过添加额外维度将nD点表示为向量形式的方法。ie）2D点（0,2）可以表示为[0,2,1]，通常为[x，y，1]。在二维/三维变换中使用齐次坐标时，有一些有用的特性，但我假设您知道这一点

现在给出表示像素坐标的表达式p和p′：

p'=[u',v',1] and p=[u,v,1]

基本矩阵：

F = [f1,f2,f3]
    [f4,f5,f6]
    [f7,f8,f9]

和基本矩阵方程：

(transposed p')Fp = 0

当我们以代数形式将该表达式乘以时，我们得到以下结果：

uu'f1 + vu'f2 + u'f3 + uv'f4 + vv'f5 + v'f6 + uf7 + vf8 + f9 = 0. 

在形式为Af=0的齐次线性方程组中（基本上是上述公式的因式分解），我们得到两个分量a和f

A:

f（f本质上是向量形式的基本矩阵）：

现在如果我们看向量A的分量，我们有8个未知数，但是一个已知值1，因为齐次坐标，所以我们现在只需要8个方程

理由2 行列式是可以从平方矩阵中获得的值

我不完全确定这个属性的数学细节，但我仍然可以推断出基本的想法，希望你也可以

基本上给出了一些矩阵A

A = [a,b,c]
    [d,e,f]
    [g,h,i]

行列式可使用以下公式计算：

det A = aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh

如果我们用基本矩阵来研究行列式，代数会像这样：

F = [f1,f2,f3]
    [f4,f5,f6]
    [f7,f8,f9]

det F = (f1*f5*f8)+(f2*f6*f7)+(f3*f4*f8)-(f3*f5*f7)-(f2*f4*f9)-(f1*f6*f8)

现在我们知道基本矩阵的行列式为零：

det F = (f1*f5*f8)+(f2*f6*f7)+(f3*f4*f8)-(f3*f5*f7)-(f2*f4*f9)-(f1*f6*f8) = 0

所以，如果我们只算出基本矩阵9个参数中的7个，我们就可以用上面的行列式方程算出最后一个参数

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因此，基本矩阵有7个自由度。

F只有7个自由度的原因如下

F是一个3x3齐次矩阵。同质意味着矩阵中存在尺度模糊，因此尺度无关紧要（如@Curator Corpus的示例所示）。这降低了一个自由度

F是秩为2的矩阵。它不是满秩矩阵，所以它是奇异的，行列式为零（证明）。F是秩为2的矩阵的原因是它将2D平面（图1）映射到通过（图2的）对极的所有线（图2中）

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希望能有帮助

至于nbro的最高票数答案，我认为可以这样解释，我们有理由二，矩阵

F

有rank2，因此它的行列式是零，作为

F

变量函数的约束。因此，我们只需要7个点来确定其余变量（f1-f8），使用前面的constriant。8个方程，8个变量，只剩下一个解。所以有7个自由度。

这是迄今为止我能找到的最好的解释。但我在5自由度的基本矩阵上挣扎。有什么建议吗？谢谢顺便说一句，如果“该属性的数学细节”表示det（F）=0。我的理解是F中的斜对称矩阵具有秩2，矩阵乘法的性质是秩（AB），简单地说，本质矩阵（E）是考虑相机固有参数的基本矩阵。现在公式是（转置p’）Ep=0，我们尝试求解E。E矩阵可以分解并求解旋转（R）和平移（t）分量，以匹配p，p是5自由度。在典型的三维几何变换中，我们有9个自由度（平移、旋转、缩放）。但在这种情况下，我们有5个自由度，因为对于基本矩阵，我们在一个规范化的坐标系中工作，因此比例变得模糊（现在下降6个自由度）。我们还失去了一个平移轴的另一个5个自由度（不太确定，但基本上旋转或平移之一不会改变最终计算的E）。我只是把它理解为“基本上知道相机的内在参数，减少了求解E所需的点数（但不一定是数学问题）。”曾经是7点算法的线性问题，现在变成了5点算法的非线性问题。也许他们的论文会给你更多的细节。对不起，我帮不了你什么忙，因为我没有必要深入研究这个问题。记住一些我能回忆起来的事实，这是如何解释F有7个自由度的呢？当然，很明显，F是尺度不变的，所以最多有8个自由度，但是秩2是如何减少自由度的呢？好问题。下面是逻辑流程。F有一个秩为2的矩阵。2.那么它的行列式是零。3. @馆长语料库显示det F=（f1*f5*f8）+（f2*f6*f7）+（f3*f4*f8）-（f3*f5*f7）-（f2*f4*f9）-（f1*f6*f8）=0。所以对于任意两个未知变量，比如f9和f8，我们可以建立一个方程，f9=a*f8+b，其中a，b是由其余变量（f1-f7）确定的系数。请注意，f9也满足馆长理由1中解释的c+d*f8=f9的方程（其中c，d也是f1-f7的系数）。结合两个方程，确定f9和f8。有帮助吗？

det A = aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh

F = [f1,f2,f3]
    [f4,f5,f6]
    [f7,f8,f9]

det F = (f1*f5*f8)+(f2*f6*f7)+(f3*f4*f8)-(f3*f5*f7)-(f2*f4*f9)-(f1*f6*f8)

det F = (f1*f5*f8)+(f2*f6*f7)+(f3*f4*f8)-(f3*f5*f7)-(f2*f4*f9)-(f1*f6*f8) = 0