如何在Java中找到递归方法的时间复杂性？

我还没有完全掌握复杂性的概念，我想知道我如何才能计算出这段代码中方法f（n）的复杂性：

import java.util.Random;

public class Main {
  public static void main(String[] args) {
    Random r = new Random();
    r.setSeed(System.currentTimeMillis());
    int n = r.nextInt(20) + 1;
    f(n);
  }

  private static void f(int n){
    if(n > 0){
      g(n);
      System.out.println();
      f(n-1);
    }
  }

  private static void g(int n){
    if(n > 0){
      System.out.print('X');
      g(n-1);
    }
  }
}

---

我知道这是一种递归方法，这让我很困惑。我看到每次调用函数f（）时，都会调用g（），并运行n次，然后f（）再次以n-1的形式调用自己，直到n=0。我不知道从哪里开始任何帮助都会很好。谢谢。

确定递归函数运行时的一种常用技术是写出递归关系，将运行时描述为根据自身定义的数量。让我们从g开始。如果让cn表示g（n）的运行时，那么

• c0=1（调用g（0）需要恒定的工作量）
• cn+1=cn+1（调用g（n）自己做恒定量的工作，然后调用g（n-1）

我们可以查看c的几个值，看看是否发现了一种模式：

• c0=1
• c1=c0+1=1+1=2
• c2=c1+1=2+1=3
• c3=c2+1=3+1=4

一般来说，它看起来像cn=n+1。如果你愿意的话，你可以用归纳法证明这一点，但现在我们要相信它。这意味着g的运行时间是O（n）

现在，让dn作为调用f（n）的运行时

• d0=1（调用f（0）会执行恒定的工作量）
• dn+1=dn+cn+1（调用f（n+1）调用g（n+1），需要cn+1工作，然后调用f（n）

我们可以把它展开，看看我们是否看到了一种模式

• d0=1
• d1=c1+d0=2+1
• d2=c2+d1=3+2+1
• d3=c3+d2=4+3+2+1

---

一般来说，它看起来像dn=n+（n-1）+（n-2）+…+1。如果你愿意的话，可以通过归纳法将其形式化。这是一个著名的总和，结果是n（n+1）/2。这个量恰好是Θ（n2），所以整个运行时是Θ（n2）。

首先，计算调用g（）的次数，作为传递给f（）的初始参数n的函数。这将为您提供函数所用的时间，即执行g（）所用时间的倍数，不包括递归

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然后删除系数和低阶项。例如，如果结果为0.5n^2+0.5n，则删除0.5n，因为它是低阶项-不是平方项-留下0.5n^2，然后删除0.5系数，留下n^2。这意味着函数在O（n^2）中运行时间。

虽然不是分析递归的一般策略，但您的

f（n）

本质上是一个循环，运行

g（k）

的

k

值跨越1到n。因此

f（n）

的运行时间本质上是

g（n）

，

g（n-1）

，…，

g（2）

，

g（1）的运行时间的总和

因为您已经知道

g（k）

的运行时间本质上是

k

，所以您的最终运行时间是从1到n的总和。如果您知道总和公式，您将知道其顺序是O（n2）