Language agnostic 编程中的幺半群/半群示例

众所周知，幺半群在编程中无处不在。它们无处不在，非常有用，作为一个“爱好项目”，我正在开发一个完全基于它们属性的系统（分布式数据聚合）。为了使系统有用，我需要有用的幺半群：）

我已经知道：

• 数字和或矩阵和
• 数值积或矩阵积
• 具有顶部或底部元素的总订单下的最小值或最大值（更一般地说，在有界格中连接或相遇，或者更一般地说，在类别中的乘积或副乘积）
• 集管接头
• 使用幺半群连接冲突值的映射并集
• 有限集子集的交集（如果我们谈到半群，则仅指集合交集）
• 地图与有界关键域的交点（此处相同）
• 排序序列的合并，可能是通过在不同的幺半群/半群中连接相等的键值
• 排序列表的有界合并（与上面相同，但我们取结果的前N个）
• 两个幺半群或半群的笛卡尔积
• 列表串联
• 自同态合成

现在，让我们将一个操作的准属性定义为一个保持等价关系的属性。例如，如果我们考虑相等长度的列表或相同的内容到置换等价，则列表级联是准交换的。 下面是一些拟幺半群和拟交换幺半群和半群：

任何（A+B＝A或B，如果我们考虑载波集合的所有元素是等价的）
• 任何满足谓词（A+B＝A和B的非空且满足某些谓词P的一个，如果没有一个则为空；如果我们考虑所有满足P等价的元素）
• 随机样本的有界混合（XS+YS＝从XS和YS的级联中的大小N的随机样本；如果我们考虑到与整个数据集相同的分布的任何两个样本是等价的）
• 加权随机样本的有界混合
• 让我们称之为“拓扑合并”：给定两个非循环且不矛盾的依赖关系图，一个包含这两个图中指定的所有依赖关系的图。例如，列表“串联”可以产生任何排列，其中每个列表的元素按顺序排列（例如，123+456=142356）

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还有哪些其他的呢？

Haskell标准库由于在其类型类中使用了实际的数学术语而受到赞扬和攻击。（在我看来，这是一件好事，因为没有它，我甚至不知道什么是幺半群！）。在任何情况下，您都可以查看更多示例：

• 任何幺半群的对偶都是幺半群：给定a+b，定义一个新的运算++，其中a++b=b+a
• 布尔函数的合取与析取
• 在Maybe monad（在Ocaml中称为“option”）上，第一个和最后一个。也就是说，第一（只是a）b=只是a first (Just a) b = Just a first Nothing b = b 第一无b=最后一无

后者只是与单子和箭头相关的整个幺半群家族的冰山一角，但我不能真正理解这些（除了简单的一元自同态）。但是谷歌搜索单子幺半群时，会发现很多。

是形成幺半群（拟幺半群？）的另一种方法：给定幺半群M和与乘法兼容的等价关系，它会给出另一个幺半群。例如：

• 有并集的有限多集：如果A*是自由幺半群（带串联的列表），~is“是”关系的置换，那么A*/~是自由交换幺半群

• 有并集的有限集：如果~被修改为忽略元素的计数（因此“aa”~“a”），则a*/~是自由交换幂等幺半群

• 句法幺半群：任何正规语言都会通过“语言不可区分性”关系产生句法幺半群，即A*的商。是这个想法的一个手指树实现。例如，语言{a3n:n natural}将Z3作为语法幺半群

商幺半群自动带有满射的同态M->M/~

“对偶”结构是子幺半群。它们的同态A->M是内射的

关于幺半群的另一个构造是

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幺半群允许通过O（logn）平方和快速并行计算来实现指数化。它们也是。

交换幺半群的一个非常有用的例子是逻辑和约束语言的统一。有关可能的统一算法的精确定义，请参见“计算机编程的概念、技术和模型”第2.8.2.2节

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祝你的语言好运！我正在用并行语言做类似的事情，使用幺半群合并并行计算的子结果。

任意长度罗马数字值计算。

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没错，我完全忘记了二元论和布尔论！至于Maybe monad，这个例子本质上被称为“任何令人满意的谓词”。Monad自同态也是一个好主意。我回滚了对标记的更改，因为在我看来，问题根本不是关于函数编程。Offtopic：如何使用并行计算折叠幺半群？@Andrey如果幺半群是可交换的，您可以在任意线程/处理器/机器上按任意顺序将值相加，直到只剩下一个值（或者您可以使每台机器保持1个值，并在读取访问期间以某种方式将它们相加，等等）。我将只使用交换幺半群。如果幺半群是非交换的，那么您可以使用在值列表上构建的平衡树来添加值：级别按顺序遍历，但每个级别上的节点可以并行减少。另请参阅Guy Blelloch关于向量并行性的著作；你能谈谈张量积的用处吗？这篇文章没有提供任何例子，我也不是alg的铁杆