Math 四边形内点的相对位置

我试图找到最简单的方法来确定一个点在四边形中的相对位置。已知的是（见图）点1、2、3、4和5在xy坐标系中的位置：x1、y1、x2、y2、x3、y3、x4、y4、x5、y5

在ξ-η坐标系中，点1、2、3和4的位置也是已知的（见图）

根据这些数据，我想确定第5点的ξ和η

结果

谢谢你们所有的人！我发现@dbc和@agentp的解决方案类似。我还发现这个解决方案比@MBo的透视变换解决方案更好，因为我不必计算矩阵的逆（Ax=B-->x=inv（a）*B）

我得到以下结果：

u = 0.5 * (ξ + 1)
v = 0.5 * (η + 1)

在我的例子中，所有点都在矩形内，因此u>0和v>0

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您需要计算透视变换矩阵，将源四边形的4个点映射到目标四边形的4个点（），然后将此变换应用到第5点的坐标（将矩阵乘以坐标向量）

这看起来像是标准的有限元参数化 （这个问题没有指定一个特定的映射，但我想可能有人对这个特定的案例感兴趣）

这可以用{eta，ci}的封闭形式来解决，但是表达式很难发布

实际上，计算这些常数：

 ax = p1x + p2x + p3x + p4x
 bx = p1x - p2x - p3x + p4x
 cx = p1x + p2x - p3x - p4x
 dx = p1x - p2x + p3x - p4x
 ay = p1y + p2y + p3y + p4y
 by = p1y - p2y - p3y + p4y
 cy = p1y + p2y - p3y - p4y;
 dy = p1y - p2y + p3y - p4y;

为

eta

求解此二次方程：

 (ax by - bx ay) - 4 (by  x - bx y) +
  eta (dx ay - cx by + bx  cy - ax dy + 4 (x dy - dx y)) +
  eta^2 (cx dy - dx cy) == 0

然后获取

ci

as：

 ci = ((-ax + eta cx + 4 x)/(-bx + eta dx))

如果多边形不是太扭曲，那么其中一个解决方案将满足

-1的要求。为简单起见，我们将其坐标更改为0到1的范围：

u = 0.5 * (ξ + 1)
v = 0.5 * (η + 1)

在这种情况下，曲面求值器可以表示为

F(u, v) = P1 + u * (P2 - P1) + v * ((P4 + u * (P3 - P4)) - (P1 + u * (P2 - P1)))

即，对于给定的
u
，构造一条穿过以下两点的线：

Pv0 = P1 + u * (P2 - P1);
Pv1 = P4 + u * (P3 - P4);

然后针对给定的
v

F(u, v) = Pv0 + v * (Pv1 - Pv0)

您所寻找的是
（u，v）
，这样
F（u，v）=P5
。当从
Pv0
到
Pv1
的行通过
P5
时，对于给定的
u
将发生这种情况，当
P5-Pv0
与
Pv1-Pv0
平行时，即当其为零时：

⇒ 

现在，两个2d向量的⨯ B

由

Ax*by-Ay*Bx

给出，因此方程

(x5 - (x1 + u * (x2 - x1))) * (y4 + u * (y3 - y4) - (y1 + u * (y2 - y1))) - (y5 - (y1 + u * (y2 - y1))) * (x4 + u * (x3 - x4) - (x1 + u * (x2 - x1))) = 0

，我们得到

现在这是一个在

u

上的二次方程，也可以是这样的。请注意，如果四边形的上边缘和下边缘平行，则二次曲线将退化为线性方程；你的二次方程求解器必须处理这个问题

        double a = (x1 * y3 - x1 * y4 - x2 * y3 + x2 * y4 + (-x3) * y1 + x3 * y2 + x4 * y1 - x4 * y2);
        double b = (-x1 * y3 + 2 * x1 * y4 - x1 * y5 - x2 * y4 + x2 * y5 + x3 * y1 - x3 * y5 - 2 * x4 * y1 + x4 * y2 + x4 * y5 + x5 * y1 - x5 * y2 + x5 * y3 - x5 * y4);
        double c = (-x1 * y4 + x1 * y5 + x4 * y1 - x4 * y5 - x5 * y1 + x5 * y4);

        double[] solutions = Quadratic.Solve(a, b, c);

可能有多种解决方案。退化四边形也可能没有解

求解了

u

的值后，找到等价的

v

很简单。给定点

Pv0 = P1 + u * (P2 - P1);
Pv1 = P4 + u * (P3 - P4);

你寻找

v

，使

v * (Pv1 - Pv0) = P5 - Pv0;

选择坐标索引0或1，使

|（Pv1-Pv0）[index]|

最大化。（如果两个坐标几乎都为零，那么放弃——对于这个特定的

u

，没有解决方案。然后设置

v = (P5 - Pv0)[index] / (Pv1 - Pv0)[index];

最后，如果您有多个解决方案，请在混合的

[u，v]

边界内选择一个解决方案。然后最后设置

ξ = 2 * u - 1;
η = 2 * v - 1;

参考@blaz的自我回答（请投票支持@blaze、@dbc和@agentp的答案）

对于不愿意手动复制公式的所有人，以下公式为C#代码：

double v_sqrt=Math.sqrt(
4 * (
（x3-x4）*（y1-y2）-（x1-x2）*（y3-y4））*（x4*（-1*y+y1）+x1*（y-y4）+x*（-1*y1+y4））+
数学，战俘(
（x3*y-x4*y-x3*y1+2*x4*y1-x4*y2+x1*（y+y3-2*y4）+x2*（-1*y+y4）+x*（-1*y1+y2-y3+y4））
, 2)
);
double u_sqrt=Math.sqrt(
4*（（x3-x4）*（y1-y2）-（x1-x2）*（y3-y4））
* (
x4*（-1*y+y1）+x1*（y-y4）+x*（-1*y1+y4）
) +
数学，战俘(
（x3*y-x4*y-x3*y1+2*x4*y1-x4*y2+x1*（y+y3-2*y4）+x2*（-1*y+y4）+x*（-1*y1+y2-y3+y4））
, 2)
);
双k=1/（2*（（x3-x4）*（y1-y2）-（x1-x2）*（y3-y4））；
双l=1/（2*（（x1-x4）*（y2-y3）-（x2-x3）*（y1-y4））；
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
双v1=l*
（x2*y-x3*y+x4*y+x*y1-2*x2*y1+x3*y1-x*y2-x4*y2+x*y3-x1*（y-2*y2+y3）-x*y4+x2*y4+
v_sqrt）；
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
双u1=-1*k*
（-x2*y+x3*y-x*y1-x3*y1+2*x4*y1+x*y2-x4*y2-x*y3+x1*（y+y3-2*y4）+x*y4+x2*y4+
u_sqrt）；
双v2=-1*l*
（x1*y+x3*y-x4*y-x*y1-2*x3*y1+x*y2--2*x1*y2+x4*y2-x*y3+x1*y3+x*y4-x2*（y-2*y1+y4）+
v_sqrt）；
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
双u2=k*
（x2*y-x3*y+x4*y+x*y1+x3*y1-2*x4*y1-x*y2+x4*y2+x*y3-x1*（y+y3-2*y4）-x*y4-x2*y4）+
u_sqrt）；

在大多数情况下，它是u1和v1，因此不需要计算其他值

我用它在一张纸上校准Pegasus空气笔设备（超声波笔）的坐标。如果点1到5的坐标也>=0，它的效果最好

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Sry感谢您将此作为答案发布，但它太长，无法发表评论，我认为这对我来说是一个有价值的帮助。

不幸的是，此公式在未知和

Pv0 = P1 + u * (P2 - P1);
Pv1 = P4 + u * (P3 - P4);

v * (Pv1 - Pv0) = P5 - Pv0;

v = (P5 - Pv0)[index] / (Pv1 - Pv0)[index];

ξ = 2 * u - 1;
η = 2 * v - 1;