Logic 用Coq进行案例证明

我有一个简单的定理，我想用案例证明。下面给出了一个例子

Goal forall a b : Set, a = b \/ a <> b. Proof intros a b. ... 所有a b的目标：设定，a=b\/a b。 证明 介绍a b。 ... 我将如何着手解决这个问题。那么，我究竟如何使用等式的两个可能值（真或假）来定义案例证明呢

任何帮助都将不胜感激。

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谢谢，

我很确定，

Set

s的相等性在Coq中是不可判定的。原因（据我有限的理解）是它不是一个归纳定义的集合（因此，您没有案例分析…），它也不是一个封闭的集合：每次您定义一个新的数据类型时，您都会创建一个新的

集合

的居民族。因此，证明您所展示目标的术语需要更新以反映这些新居民

正如@hardmath在他的评论中提到的，您可以使用

classic

假设来证明您的目标（

Axiom classic:forall p:Prop，p\/~p.

）

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正如@Robin Green在这里的评论中提到的，你可以证明这种类型的目标是绝对平等的。为此，您可能希望从

决定平等

策略中获得帮助。请参阅：

您的问题触及了Coq的一个有趣方面：命题（即

Prop

的成员）和布尔（即

bool

的成员）之间的差异。详细解释这一差异有点技术性太强，所以我将只关注您的特定示例

粗略地说，Coq中的

Prop

与常规布尔运算不同，其计算结果不是

True

或

False

。相反，

Prop

s具有可以组合起来推断事实的推理规则。利用这些，我们可以证明一个命题成立，或者证明它是矛盾的。让事情变得微妙的是，还有第三种可能性，即我们无法证明或反驳这个命题。这是因为Coq是一种建设性的逻辑。其中一个最广为人知的后果是，众所周知的被称为排除中间的推理原则（

forall P:Prop，P\/~P

）无法在Coq中得到证明：如果你断言

P\/~P

，这意味着你要么能够证明

P

，要么能够证明

~P

。你不能在不知道谁持有的情况下断言这一点

对于某些命题，我们可以证明

p\/~p

成立。例如，对于所有n m:nat，n=m\/n m，显示

并不困难。根据上面的注释，这意味着对于每一对自然数，我们都能够证明它们相等或不相等

另一方面，如果我们将
nat
更改为
Set
，就像在您的示例中一样，那么我们将永远无法证明定理。想知道为什么，考虑自然代码对的<代码>设置<代码>代码> nAT*NAT <代码>。如果我们能够证明你的定理，那么它将遵循
nat=nat*nat\/nat-nat*nat
。同样，通过上面的评论，这意味着我们要么能够证明
nat=nat*nat
要么
nat-nat*nat
。然而，由于这两种类型之间都有一个双射，我们不能说假设
nat=nat*nat
是矛盾的，但是因为这两种类型在语法上不相等，所以假设它们是不同的也是可以的。从技术上讲，命题
nat=nat*nat
的有效性与Coq的逻辑无关

如果你真的需要你提到的事实，那么你需要将排除在外的中间作为一个公理（
axiom-classic:forall p，p\/~p.
），这将允许你产生
\/
的证明，而不需要任何一方的明确证明，也不需要逐案推理。然后你就可以证明你的例子定理，比如

intros a b. destruct (classical (a = b)).
  left. assumption.
  right. assumption.
介绍a b。自毁（经典（a=b））。
左边假设。
正确的。假设。
希望这能有所帮助。
您使用的是什么版本的Coq？你是在要求根据同义反复法
a\/~a
进行证明，还是在想一个假设你的具体解释
a=b\/a b
的例子？稍微详细说明一下这个答案，对于某些类型的T（这里T是
Set
），有两种主要的方法来证明这个结果。如果T有一个已知的等式可判定过程，那么只需证明该过程是可判定的。如果没有，人们就不得不求助于古典逻辑；Coq的默认逻辑是直观的。