Coq 归纳定义的稠密向量引理

受StackOverflow的另一个问题的启发，我将密集向量定义为带有

选项a

类型元素的向量，该元素只包含

一些

元素，并且没有

无

元素

Require Import Vector.
Section Dense.
  Variable A:Type.

  Inductive Is_dense : forall n, t (option A) n -> Prop :=
  | snil : Is_dense 0 (nil _)
  | scons: forall n s, Is_dense n s -> forall a, Is_dense (S n) (cons _ (Some a) _ s).

我如何证明以下两个引理

  Lemma Is_dense_tl: forall n (s: t (option A) (S n)),
                     Is_dense (S n) s -> Is_dense n (tl s).

及

---

而且，在第一个引理中，当我做

inversion s.

时，我得到了

s

的构造函数使用的元素

hn'X

，但是我怎么能得到一个等式，声明

s=cons（选项A）hn'X
，
因为类型依赖性，
inversion
不能直接生成您期望的结果，因为一般来说这不是真的。然而，对于一个类型的大家族来说，这是正确的，它们的相等性是可判定的。在您的情况下，如果您提供了在
nat
上的相等是可判定的（并且是可判定的），则可以应用
Eqdep\u dec.inj\u pair2\u eq\u dec
来获得所需的相等

下面是第一个引理的证明：

Lemma Is_dense_tl: forall n (s: t (option A) (S n)),
                     Is_dense (S n) s -> Is_dense n (tl s).
Proof.
intros n s hs.
inversion hs; subst; clear hs.
apply Eqdep_dec.inj_pair2_eq_dec in H0.
- now rewrite <- H0; simpl.
- (* insert proof of decidablity *) admit.
Qed.

引理是稠密的\u tl:forall n（s:t（选项A）（sn）），
Is_稠密（sn）S->Is_稠密n（tls）。
证明。
介绍。
反转hs；subst；清除hs。
在H0中使用Eqdep\u dec.inj\u pair2\u eq\u dec。
-现在重写谢谢！对于
nat
，它需要一个可判定性证明，而不是
a
，因此使用
Arith.Peano_dec.eq_nat_dec.
很容易，但是，当我尝试对第二个引理使用
inversion hs.
时，我得到了错误
错误：反转需要对排序类型进行案例分析，这是归纳定义不允许的。
为什么可以在第一个引理中使用反转而在第二个引理中不使用？将
A
从
类型
更改为
集
后，在第二个引理中，我能做
倒装。怎么搞的？有没有比改变定义更激进的解决方案？
Lemma Is_dense_tl: forall n (s: t (option A) (S n)),
                     Is_dense (S n) s -> Is_dense n (tl s).
Proof.
intros n s hs.
inversion hs; subst; clear hs.
apply Eqdep_dec.inj_pair2_eq_dec in H0.
- now rewrite <- H0; simpl.
- (* insert proof of decidablity *) admit.
Qed.