Math 计算机科学数学中的递推关系T（n）=6T（n/6）+；2n+；对于n，6t（1）的幂=1？

递归关系可以直接从递归算法中导出，但是 它们的形式不允许我们快速确定效率 算法是简单的

请问我怎样才能解决这个问题

---

T（n）=6T（n/6）+2n+3表示n的幂为6T（1）=1的解决方案？

可以使用Python的符号数学库from解决此问题

from sympy import Function, rsolve
from sympy.abc import k, n

f = Function('f')
g = Function('g')

# T(n) = 6T(n/6) + 2n + 3 for n a power of 6     T(1) = 1
T = f(n) - 6*f(n/6) - 2*n - 3
Tk = T.subs({n: 6**k, f(n): g(k), f(n/6):g(k-1)})

s = rsolve(Tk, g(k), {g(0): 1})
print ("solution for k:", s.cancel())

for k in range(0,11):
    print(f"k={k}, n={6**k}, T(n)={2*6**k*k + (8*6**k - 3)//5}")

这使得：

• Tk（k）=2*6**k*k+8*6**k/5-3/5

  或Tk（k）=（（10k+8）6k-3）/5

• T（n）=2*n*log（n）/log（6）+8*n/5-3/5

  或T（n）=（n（10log6（n）+8）-3）/5

前11个值：

k=0, n=1, T(n)=1
k=1, n=6, T(n)=21
k=2, n=36, T(n)=201
k=3, n=216, T(n)=1641
k=4, n=1296, T(n)=12441
k=5, n=7776, T(n)=90201
k=6, n=46656, T(n)=634521
k=7, n=279936, T(n)=4367001
k=8, n=1679616, T(n)=29561241
k=9, n=10077696, T(n)=197522841
k=10, n=60466176, T(n)=1306069401

我们可以通过递归公式检查公式：

def recursive_t(n):
    if n == 1:
        res =  1
    else:
        t_ndiv6 = recursive_t(n//6)
        res = 6 * t_ndiv6 + 2 * n + 3
    print(f"T({n})={res}")
    return res

recursive_t(6**10)

---

这将为相同的

n

打印出相同的值，用6^k替换n，从T（k-1）得到T（k），最后从T（1）得到T（k）。看看并使用“主定理”（）你需要找到精确解，还是仅仅是渐近行为（大O）后者很容易用主定理来做。我需要从理论上找到问题的精确解。妮特：T（k）和T（n）的意思不同，这有点让人困惑。通常，你会要求T（k）=T（n）当k=n时，我现在引入Tk来帮助澄清差异。我认为这不起作用。

n

应该是6的幂，但你要计算的是6的幂，这不是一回事。你给出的

t（n）的公式

也不起作用：从文档中看，

rsolve

似乎只适用于特定的复发形式，不包括这一种。正确的解决方案似乎是

t（6**k）=（2*k+1）*6**k+3*（6**k-1）//5

。抱歉：在重读时，

rsolve

确实适用于此，但为了获得正确的解决方案，您希望使用

{g（0）：1}

作为初始条件，而不是

{g（1）：1}

。