Math 数学题：缩放一个图形，使其与另一个匹配

我有两个值表，希望缩放第一个表，使其与第二个表尽可能匹配。两者长度相同。如果两者都以图表的形式绘制，它们应该尽可能彼此接近。但我不想要二次的，而是简单的线性权重。 我的问题是，由于Abs函数，我不知道如何实际计算最佳比例因子

一些伪代码：

//given:
float[] table1= ...;
float[] table2= ...;

//wanted:
float factor= ???; // I have no idea how to compute this

float remainingDifference=0;
for(int i=0; i<length; i++)
{
    float scaledValue=table1[i] * factor;
    //Sum up the differences. I use the Abs function because negative differences are differences too.
    remainingDifference += Abs(scaledValue - table2[i]);
}

//给定：
浮动[]表1=。。。；
浮动[]表2=。。。；
//通缉：
浮动系数=？？？；//我不知道怎么计算这个
浮动剩余差=0；
对于（inti=0；i简单的线性权重很难像你说的那样

a_n = first sequence
b_n = second sequence
c = scaling factor

残差函数为（总和从i=1到N，点数）：

采用与c收益率相关的衍生工具：

  d/dc SUM( |a_i - c*b_i| )
= SUM( b_i * (a_i - c*b_i)/|a_i - c*b_i| )

设置为
0
并求解
c
很难。我认为没有一种分析方法可以做到这一点。你可能想看看他们是否有什么好主意

但是，如果使用二次权重，它会变得非常简单：

  d/dc SUM( (a_i - c*b_i)^2 )
= SUM( 2*(a_i - c*b_i)* -c )
= -2c * SUM( a_i - c*b_i ) = 0
=> SUM(a_i) - c*SUM(b_i) = 0
=> c = SUM(a_i) / SUM(b_i)

如果可以的话，我强烈建议采用后一种方法。
简单的线性权重很难像你说的那样

a_n = first sequence
b_n = second sequence
c = scaling factor

残差函数为（总和从i=1到N，点数）：

采用与c收益率相关的衍生工具：

  d/dc SUM( |a_i - c*b_i| )
= SUM( b_i * (a_i - c*b_i)/|a_i - c*b_i| )

设置为
0
并求解
c
很难。我认为没有一种分析方法可以做到这一点。你可能想看看他们是否有什么好主意

但是，如果使用二次权重，它会变得非常简单：

  d/dc SUM( (a_i - c*b_i)^2 )
= SUM( 2*(a_i - c*b_i)* -c )
= -2c * SUM( a_i - c*b_i ) = 0
=> SUM(a_i) - c*SUM(b_i) = 0
=> c = SUM(a_i) / SUM(b_i)

如果可以的话，我强烈建议采用后一种方法。
我建议在牛顿·拉斐逊身上尝试某种变体

构造一个函数Diff（k），用于查看固定标记a和B之间两个图形的面积差异

从数学上来说，我猜它是积分（x=A到B）{f（x）-k*g（x）}dx

不管怎样，实际上你可以减去这些值

比如，如果你的范围从X=-10到10，在[-10,10]中的每个整数i上都有一个f（i）和g（i）的数据点（即21个数据点）

然后求和（i=-10到10）{f（i）-k*g（i）}

基本上，你会期望这个函数看起来像一条抛物线——会有一个最佳的k，在任何一个方向稍微偏离它都会增加总的面积差

差别越大，你就会期望差距越大

因此，这应该是一个非常平滑的函数（如果有很多数据点）

因此，您希望最小化差异（k）

所以你想知道导数ie d/dk Diff（k）=0

牛顿·拉斐逊在这个新函数D’（k）上

在k=1时启动它，它应该可以很快找到解决方案

这可能会给你一个最佳的计算时间

如果你想要更简单的东西，就从0两边的k1和k2开始

所以说Diff（1.5）=-3和Diff（2.9）=7

那么你可以选择一个k，比如说，在1.5到2.9之间的3/10（10=7--3）

根据产生的是正值还是负值，将其用作新的k1或k2，冲洗并重复
我建议在Newton Raphson上尝试某种变体

构造一个函数Diff（k），用于查看固定标记a和B之间两个图形的面积差异

从数学上来说，我猜它是积分（x=A到B）{f（x）-k*g（x）}dx

不管怎样，实际上你可以减去这些值

比如，如果你的范围从X=-10到10，在[-10,10]中的每个整数i上都有一个f（i）和g（i）的数据点（即21个数据点）

然后求和（i=-10到10）{f（i）-k*g（i）}

基本上，你会期望这个函数看起来像一条抛物线——会有一个最佳的k，在任何一个方向稍微偏离它都会增加总的面积差

差别越大，你就会期望差距越大

因此，这应该是一个非常平滑的函数（如果有很多数据点）

因此，您希望最小化差异（k）

所以你想知道导数ie d/dk Diff（k）=0

牛顿·拉斐逊在这个新函数D’（k）上

在k=1时启动它，它应该可以很快找到解决方案

这可能会给你一个最佳的计算时间

如果你想要更简单的东西，就从0两边的k1和k2开始

所以说Diff（1.5）=-3和Diff（2.9）=7

那么你可以选择一个k，比如说，在1.5到2.9之间的3/10（10=7--3）

根据产生的是正值还是负值，将其用作新的k1或k2，冲洗并重复
，以防将来有人偶然发现，下面是一些代码（c++）
诀窍是首先按比例因子对样本进行排序，这将使每个样本最适合2个样本。然后从两端开始迭代到导致最小绝对偏差（L1范数）的因子

除排序之外的所有内容都有一个线性运行时=>运行时为O（n*logn）

/*
*求x，使std:：abs（pA[i]-pB[i]*x）上从i=0到（n-1）的和最小
*然后返回x
*/
浮点线性插值（常数浮点*pA，常数浮点*pB，整数n）
{
/*
*一般情况下，代数解是不可能的
*=>迭代算法
*/
if（n<0）
抛出“linearFit具有无效参数：应为n>=0”；
如果（n==0）
返回0；//如果没有要拟合的项，则任何因子都是完美拟合（总和始终为0）
如果（n==1）
返回pA[0]/pB[0]；//返回x，使pA[0]=pB[0]*x
//如果您不喜欢这样，请使用std:：vector:P
std:：unique_ptr targetValues_u（新浮点[n]）；
std：：唯一的ptr索引（新的int[n]）；
//获取正确的指针：
float*targetValues=targetValues_uz.get（）；//值