Math 人物-苹果拼图[受客户端拼图协议启发]

我正在学习一个客户端谜题协议，我有一个关于寻找解决方案可能性的问题。以下是一个场景，而不是直接讨论协议事实：

假设我有x个人，我有y个苹果：

• 每个人必须至少有一个苹果
• 每个人最多只能吃z个苹果

是否有计算方案数量的公式

例如： 4个人[x]，6个苹果[y]，最多15个苹果[z]

手工计算的情景数量：10

如果我的数字很大，我希望用公式来计算

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感谢您的帮助。

您的问题相当于“通过将

z

数字相加，找到可以获得

x

的方法的数量，每个数字位于

min

和

max

之间”Python实现示例：

def possible_sums(x, z, min, max):
    if min*z > x or max*z < x:
        return 0
    if z == 1:
        if x >= min and x <= max:
            return 1
        else:
            return 0
    total = 0
    #iterate from min, up to and including max
    for i in range(min, max+1):
        total += possible_sums(x-i, z-1, min, max)
    return total

print possible_sums(6, 4, 1, 15)

当调用大量函数时，此函数可能会变得非常昂贵，但可以通过使用来改进运行时。如何实现这一点取决于语言，但传统的Python方法是将先前计算的值存储在字典中

def memoize(fn):
    results = {}
    def f(*args):
        if args not in results:
            results[args] = fn(*args)
        return results[args]
    return f


@memoize
def possible_sums(x, z, min, max):
    #rest of code goes here

---

现在

打印可能的总和（60，40，1150）

，这将花费很长的时间来计算，会在瞬间返回

2794563003870330

。

有数学方法可以做到这一点。这类似于询问在3个6面骰子（x=3，y=10，z=6）上总共掷10个骰子的方法有多少。您可以通过几种不同的方式实现这一点

一种方法是使用包含排除。将y写为x正数之和（无最大值）的方法数为y-1。通过选择x-1。您可以计算将y写入x正数之和的方法数，这样，如果y-x-sz为负数，则其中的一组方法至少为z+1:0，如果y-x-sz为非负数，则y-1-sz选择x-1。然后，您可以使用将计数写入s的非负值之和，以便y-x-sz是（-1）^s（x选择s）（y-1-sz选择x-1）的非负值

可以使用生成函数。你可以让某个变量的幂，比如说t，保持总数，系数表示有多少个组合与这个总数。那么你要求的是（t+t^2+…+t^z）^x中t^y的系数。你可以用几种方法来计算

一种方法是使用动态规划，计算k到x的（t+t^2+…+t^z）^k系数。这种简单的方法可能已经足够快了：你可以计算k=1，2，3，…，x。使用类似重复平方运算的方法要快一点，例如，为了计算87次方，可以将87以二进制形式展开为64+16+4+2+1=0b1010111（以二进制文字形式编写）。您可以通过平方和乘法来计算1、2、4、16和64次幂，也可以通过计算0b1、0b10、0b101、0b1010、0b10101、0b101011和0b1010111次幂来节省一些空间

另一种方法是使用二项式定理两次

(t+t^2+...+t^z)^x = t^x ((t^z-1)/(t-1))^x 
                  = t^x (t^z-1)^x (t-1)^-x. 

指数为x的二项式定理允许我们将（t^z-1）^x重写为（-1）^s t^（z（x-s））（x选择s）的和，其中s的范围为0到x。它还允许我们将（t-1）^-x重写为（r+x-1选择x-1）t^r与非负r的无穷和。然后我们可以挑选出有助于t^y（r=y-x-sz）系数的有限项集，我们得到与上述包含排除相同的和

例如，假设x=1000，y=1100，z=30。价值是

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=1.29 x 10^144。

作为一个起点：向x个至少需要Q个苹果的人分发Y个苹果的可能性与向x个需要0个苹果的人分发（Y-Q*x）个苹果的可能性相同。4个人，6个苹果，1个需要与4个人，2个苹果，0个需要相同。谢谢你的回答。。我理解那一部分。。但是，我还需要考虑场景中的MAX Apple部分

(t+t^2+...+t^z)^x = t^x ((t^z-1)/(t-1))^x 
                  = t^x (t^z-1)^x (t-1)^-x.