Math 用基本算术运算实现等式函数

给定正整数输入

x

和

y

，如果

x

=

y

或

0

，是否存在返回

1

的数学公式？不幸的是，我不得不使用一个只允许我使用以下符号的工具：数字

0

-

9

；小数点

；括号

（

和

）

；以及四种基本算术运算

+

，

-

，

/

和

*

---

目前，我依靠的是一个事实，即计算除法为零的工具是零。（我不知道这是一个bug还是一个特性。）因此，我能够使用

（（x-y）/（y-x））+1

。显然，这是丑陋和不公平的，特别是当它是一个bug并且他们在将来的版本中修复它时。

所以问题是，如果他们修复了零除法，这意味着你不能再使用任何包含输入变量的除法（您必须检查除数！=0，实现该检查将解决原始的x-y==0问题！）；因此，除法根本不能使用

---

因此，只有

+

，

-

，

*

和关联运算符

（）

可以使用。不难看出，仅使用这些运算符无法实现所需的行为。

利用C中的整数除法向0截断，下面的运算效果良好。没有乘法溢出。为所有“正整数输入

x

和

y

”定义良好

（x/y）*（y/x）

#include <stdio.h>
#include <limits.h>

void etest(unsigned x, unsigned y) {
  unsigned ref = x == y;
  unsigned z =  (x/y) * (y/x);
  if (ref != z) {
    printf("%u %u %u %u\n", x,y,z,ref);
  }
}

void etests(void) {
  unsigned list[] = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,100,1000, UINT_MAX/2 , UINT_MAX - 1, UINT_MAX };
  for (unsigned x = 0; x < sizeof list/sizeof list[0]; x++) {
    for (unsigned y = 0; y < sizeof list/sizeof list[0]; y++) {
      etest(list[x], list[y]);
    }
  }
}

int main(void) {
  etests();
  printf("Done\n");
  return 0;
}

---

如果除法是截断的，且数字不太大，则：

((x - y) ^ 2 + 2) / ((x - y) ^ 2 + 1) - 1

如果x=y，则除法的值为2，否则将截断为1

（这里x^2是x*x的缩写。）

如果（x-y）^2溢出，此操作将失败。在这种情况下，您需要单独检查

x/k=y/k

和

x%k=y%k

，其中

（k-1）*（k-1）

不会溢出（如果k是

ceil（sqrt（INT_MAX））

。

x%k

可以计算为

x-k*（x/k）

和

A&B

只是

A*B

这将适用于范围

[-k*k，k*k]

内的任何x和y

一个稍微不正确的计算，使用了大量中间值，它假设

x-y

不会溢出（或者至少溢出不会产生假0）

或全部写出来：

((((x-y)/K)*((x-y)/K)+2)/(((x-y)/K)*((x-y)/K)+1)-1)*
((((x-y)-K*((x-y)/K))*((x-y)-K*((x-y)/K))+2)/
 (((x-y)-K*((x-y)/K))*((x-y)-K*((x-y)/K))+1)-1)

（对于有符号31位整数，使用K=46341；对于无符号32位整数，使用65536。）

使用@chux的测试线束进行检查，添加0案例：和负值

---

在一个平台上，整数减法可能会产生除2s补码外的其他结果，可以使用类似的技术，但将数字分成三部分而不是两部分。

不。数学不是这样工作的（你的表达式，

（（x-y）/（y-x））+如果
x
和
y
相等，1

实际上应该抛出一个被零除的错误。@Draco18s不是在数学中，而是在OP的工具中；参见OP的最后一段！@MarcusMüller我没有注意到。如果是这样，那么

（（x-y）/（y-x））+1

将是唯一的方法。嗯，你使用的是什么很棒的工具？@MarcusMüller输入是整数。使用DP是可选的。“你必须检查除数！=0，”-->已知

x，y

为正。“不难看出，仅使用这些运算符无法实现所需的行为。”显然，这个命题并不像看上去的那么明显：——）@rici我假设所涉及的数学几乎在有理数域上“正常”运行，除了零除法例外，而不是整数算术。事实上，OP从未说过这样的话，所以我坚持这个假设，直到OP解释他的意思：）非常好。我不知道我的解决方案的复杂性是否合理，因为即使x或y为0，它也能工作。@rici谢谢，听起来不像

x，y==0

很重要。使用

（（x+1）/（y+1））*（（y+1）/（x+1））

在这里很容易调整，但现在不必使用

UINT_MAX

。这只会将问题从0转移到-1:）使用差的平方对任何值都有效，只要您可以处理溢出。次要细节：

符号delta=x-y可能导致签名溢出
46341
取决于
int
是否为32位。@chux:Nits noted.）我确实使用cpp生成了正确的表达式，但这很可笑，所以我把它作为练习。
  int delta = x - y;
  int delta_hi = delta / K;
  int delta_lo = delta - K * delta_hi;
  int equal_hi = (delta_hi * delta_hi + 2) / (delta_hi * delta_hi + 1) - 1;
  int equal_lo = (delta_lo * delta_lo + 2) / (delta_lo * delta_lo + 1) - 1;
  int equals = equal_hi * equal_lo;

((((x-y)/K)*((x-y)/K)+2)/(((x-y)/K)*((x-y)/K)+1)-1)*
((((x-y)-K*((x-y)/K))*((x-y)-K*((x-y)/K))+2)/
 (((x-y)-K*((x-y)/K))*((x-y)-K*((x-y)/K))+1)-1)