Math 如何计算直线和曲线的最近点。。还是曲线和曲线？

给定直线和二次贝塞尔曲线的点，如何计算它们的最近点

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法线匹配的点是它们最近的点。我的意思是你画一条与这条线正交的线。如果该直线也与曲线正交，则交点是最近的点。简单的坏方法-通过迭代从第一条曲线逐点，从第二条曲线逐点，得到最小值 2.确定曲线间距离的数学函数和该函数的计算极限，如：

|Fcur1（t）-Fcur2（t）|->0

Fs是向量

我想我们可以计算它的导数来确定极值，得到最近点和最远点

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一段时间后我思考了这个问题，并给出了完整的回答。

印度研究院有一篇关于这个问题的科学论文：（）

用标准分析的方式来描述你的问题：你有一个要最小化的数量（距离），所以你为这个量建立一个方程，找到一阶导数为零的点。通过使用曲线的参数

p

（第一点为0，最后一点为1）使用单个参数进行参数化

在直线情况下，方程相当简单：从样条曲线方程获得x/y坐标，并通过向量方程（直线法线的标量积）计算到给定直线的距离

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在曲线的情况下，解析解可能变得相当复杂。您可能需要使用数值最小化技术，如Nelder Mead，或者，因为您有一个一维连续问题，所以需要简单的二等分。

对于Q.B.曲线//段，我只想给您一些提示： 为了获得足够快的计算速度，我认为您应该首先考虑在算法中使用一种“边界框”。 假设P0是Q.B.曲线的第一点，P2是第二点，P1是控制点，P3P4是线段，然后：

计算从P0、P1、P2到P3P4的距离

如果P0或P2是最近点-->这是从P3P4开始的曲线的最近点。结束：=）

如果P1是最近的点，而Pi（i=0或1）是第二个最近的点，则PiPC和P3P4之间的距离是您所寻求的距离的估计值，可能足够精确，具体取决于您的需要

如果您需要更精确：计算P1'，这是Q.B.曲线上离P1最近的点：您可以使用t=0.5的BQC公式找到它。-->从PiP1'到P3P4的距离是一个更准确的估计，但成本更高

请注意，如果P1P1'定义的直线与P3P4相交，则P1'是距离P3P4最近的QBC点

如果P1P1'没有与P3P4相交，那么你就不走运了，你必须走艰苦的道路

现在，如果（以及何时）需要精度：

考虑对曲线的参数使用分治算法： 哪一个离P3P4最近？？P0P1'还是P1'P2？？？如果是P0P1'->t介于0和0.5之间，则计算t=0.25的Pm。 现在哪一个离P3P4最近？？P0Pm或PmP1’？？如果是PmP1'->计算t=0.25+0.125=0.375的Pm2，那么哪一个最接近？PM2或Pm2P1'？？？等 你们很快就会得到精确解，比如6次迭代，你们在t上的精度是0.004！！当两点之间的距离小于给定值时，可以停止搜索。（两个参数之间没有区别，因为参数稍有变化，点可能会很远） 实际上，该算法的原理是每次都越来越精确地用分段逼近曲线

对于曲线/曲线的情况，我会首先“框”它们，以避免无用的计算，因此首先使用段/段计算，然后（可能）段/曲线计算，并且仅在需要曲线/曲线计算时使用

对于曲线/曲线，分而治之也有效，更难解释，但您可能会找到答案。：=）

希望您能在速度/准确性方面找到平衡：=）

编辑：我认为对于一般情况，我发现了一个很好的解决方案：-） 应该迭代每个B.Q.C的（内部）边界三角形。 我们有三角形T1，点A，B，C，有't'参数tA，tB，tC。 三角形T2，点D，E，F，具有t参数tD，tE，tF。 最初，我们有tA=0 tB=0.5 tC=1.0，对于T2 tD=0、tE=0.5、tF=1.0也有相同的结果 我们的想法是递归调用一个过程，将T1和/或T2分割成更小的矩形，直到我们对达到的精度满意为止。 第一步是计算从T1到T2的距离，跟踪每个三角形上最近的线段。第一个“技巧”：如果T1上的线段是AC，那么在T1上停止递归，曲线1上最近的点是A或C。如果T2上最近的线段是DF，那么在T2上停止递归，曲线2上最近的点是D或F。如果我们停止递归，则返回距离=min（AD、AF、CD、CF）。然后，如果我们在T1上有递归性，并且AB段是最近的，那么新的T1变成：A'=AB=曲线一的点，tB=（tA+tC）/2=0.25，C=旧的B。T2也是如此：如果需要，应用递归性，并在新的T1和新的T2上调用相同的算法。在T1和T2之间找到的距离减去之前T1和T2之间找到的距离低于阈值时停止算法。 该函数可能看起来像计算距离（curveParam1、A、C、shouldSplitCurve1、curveParam2、D、F、shouldSplitCurve2、previousDistance），其中点还存储其t参数

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请注意，距离（曲线、线段）只是该算法的一个特例，您应该实现距离（三角形、三角形）和距离（线段、三角形）才能工作。玩得开心。

我曾经写过一个工具来完成类似的任务。贝塞尔样条曲线通常是参数三次多项式。要计算三次线段和直线之间距离的平方，这只是两个多项式之间距离的平方