Math 求解线性组合的算法？

在我正在进行的项目中，我遇到了以下需要解决的问题：

给定一定数量的向量v_i（在数学意义上）和目标向量H，计算与目标向量H最接近的向量v_i的线性组合，约束条件是系数必须在[0,1]中

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我不知道应该用什么样的算法/数学来解决这样的问题。任何正确方向的刺激都将不胜感激

这是一个组合优化问题。这类问题是NP难问题。但是我想对于二进制的，应该有多项式算法可以解决，或者有一些松弛来得到近似解。通过谷歌搜索“整数规划”可能会有所帮助。

这是一个组合优化问题。这类问题是NP难问题。但是我想对于二进制的，应该有多项式算法可以解决，或者有一些松弛来得到近似解。通过谷歌搜索“整数规划”可能会有所帮助。

这是一个约束最小二乘问题。基本上，您希望解决优化问题：

  argmin ||Ax-H||
    x
  s.t.  0<=x_j<=1

argmin | Ax-H||
x
s、 t.0这是一个约束最小二乘问题。基本上，您希望解决优化问题：

  argmin ||Ax-H||
    x
  s.t.  0<=x_j<=1

argmin | Ax-H||
x
s、 t.0假设你想用最小二乘法求解，那么你就有了一个二次规划问题。例如，假设你的向量集是

x1 = 1 2 3]'    x2 = [3 2 1]'

你的目标向量是

H = [1 -1 1]'

然后，您可以创建列为向量的矩阵：

A = [1 3;
     2 2;
     3 1]

你要尽量减少的是

norm(A*x - H) = (A*x - H)' * (A*x - H) = x' * (A'*A) * x - (2*H'*A) * x + const

如果你定义

B = A' * A
C = -2 * H' * A

然后你有一个问题可以通过我的Matlab的
quadprog
函数得到最佳解决

quadprog(B,C,[],[],[],[],0,1)
ans = 
    0.16667
    0.16667

因此，这种情况下的最佳解决方案是

1/6 * x1 + 1/6 * x2 = [2/3, 2/3, 2/3]

假设你想用最小二乘法求解，那么你就有了一个二次规划问题。例如，假设你的向量集是

x1 = 1 2 3]'    x2 = [3 2 1]'

你的目标向量是

H = [1 -1 1]'

然后，您可以创建列为向量的矩阵：

A = [1 3;
     2 2;
     3 1]

你要尽量减少的是

norm(A*x - H) = (A*x - H)' * (A*x - H) = x' * (A'*A) * x - (2*H'*A) * x + const

如果你定义

B = A' * A
C = -2 * H' * A

然后你有一个问题可以通过我的Matlab的
quadprog
函数得到最佳解决

quadprog(B,C,[],[],[],[],0,1)
ans = 
    0.16667
    0.16667

因此，这种情况下的最佳解决方案是

1/6 * x1 + 1/6 * x2 = [2/3, 2/3, 2/3]

你能写出你的数学解吗？哦，我所说的公式不是指解！我不知道如何解决一般情况，这就是问题所在。我可以解决至少有3个线性独立向量的情况（不考虑约束）（注意，我在3-空间中工作）。但这并不一定会产生最佳组合。所谓最优，我指的是最小化目标向量和线性组合之间的差异。对我来说，真正的问题是如何在一般情况下“最优地”解决它。@starblue我不认为这是一个线性规划问题。@Chris Taylor解空间是线性的，但标准目标函数（最小二乘）是非线性的，所以你是对的。你能写出你的数学解吗？哦，公式不是指解！我不知道如何解决一般情况，这就是问题所在。我可以解决至少有3个线性独立向量的情况（不考虑约束）（注意，我在3-空间中工作）。但这并不一定会产生最佳组合。所谓最优，我指的是最小化目标向量和线性组合之间的差异。对我来说，真正的问题是如何在一般情况下“最优地”求解。@starblue我不认为这是一个线性规划问题。@Chris Taylor解空间是线性的，但标准目标函数（最小二乘）是非线性的，所以你是对的。很有趣，谢谢你的知识。实际上，我只是用一种迭代贪婪的方法充分地解决了这个问题。我猜这个解决方案不是最优的，但对于我的应用来说，它的性能足够好。这不是一个组合优化问题。权重应该在区间[0,1]内，而不是集合{0,1}。对不起，我的错误。如果它在区间[0,1]内，那么它是约束最小二乘问题，正如朝黄所说。如果你有高斯噪声假设，他的公式中使用的向量范数可以是2范数（最小化欧氏距离）。利用matlab中的quadprog可以解决这个问题。1范数比其他噪声模型更稳健。很有趣，感谢您的知识。实际上，我只是用一种迭代贪婪的方法充分地解决了这个问题。我猜这个解决方案不是最优的，但对于我的应用来说，它的性能足够好。这不是一个组合优化问题。权重应该在区间[0,1]内，而不是集合{0,1}。对不起，我的错误。如果它在区间[0,1]内，那么它是约束最小二乘问题，正如朝黄所说。如果你有高斯噪声假设，他的公式中使用的向量范数可以是2范数（最小化欧氏距离）。利用matlab中的quadprog可以解决这个问题。1范数对其他噪声模型更稳健。谢谢，这非常有用，现在我至少知道这是什么类型的问题了！谢谢，这很有帮助，现在我至少知道这是什么类型的问题了！